解不等式$$\log_2(x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^5+1)<1+\log_2(x^4+1).$$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\left(-\sqrt{\dfrac{\sqrt5-1}{2}},\sqrt{\dfrac{\sqrt5-1}{2}}\right)$
【解析】
由$$1+\log_2(x^4+1)=\log_2(2x^4+2),$$且 $\log_2y$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，故原不等式等价于$$x^{12}+3x^{10}+5x^{8}+3x^6+1<2x^4+2,$$即\[\begin{split}\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^6}&>x^6+3x^4+3x^2+1+2x^2+2\\&=(x^2+1)^3+2(x^2+1).\end{split}\]则$$\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2+2\left(\dfrac{1}{x^2}\right)>(x^2+1)^3+2(x^2+1),$$令 $g(t)=t^3+2t$，则不等式转化为$$g\left(\dfrac{1}{x^2}\right)>g(x^2+1),$$显然 $g(t)=t^3+2t$ 在 $\mathbb R$ 上为增函数，由此原不等式等价于 $\dfrac{1}{x^2}>x^2+1$，即$$(x^2)^2+x^2-1<0,$$解得 $x^2<\dfrac{\sqrt5-1}{2}$，故原不等式的解集为 $\left(-\sqrt{\dfrac{\sqrt5-1}{2}},\sqrt{\dfrac{\sqrt5-1}{2}}\right)$
答案
解析
备注
