求证：不存在这样的函数 $f:\mathbb{Z} \to \{1,2,3\} $，满足对任意的整数 $x,y$，若 $\lvert x - y \rvert \in \{2,3,5\}$，则 $f(x) \ne f(y)$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设存在这样的函数 $f$，则对任意的整数 $n$，$f(n)$ 和 $f(n + 2)$、$f(n + 3)$、$f(n + 5)$ 均不同．
由于 $f:\mathbb{Z} \to \{1,2,3\}$，则 $f(n)$、$f(n + 2)$、$f(n + 3)$、$f(n + 5)$ 至少有两个相同的．
又 $f(n + 2) \ne f(n + 5)$，$f(n + 3) \ne f(n + 5)$，则必有 $f(n + 2) =f(n + 3)$，由此得 $f(n + 3) =f(n + 4)$，故 $f(n + 2) =f(n + 4)$ 矛盾．因此假设不成立，既不存在这样的函数 $f$．
由于 $f:\mathbb{Z} \to \{1,2,3\}$，则 $f(n)$、$f(n + 2)$、$f(n + 3)$、$f(n + 5)$ 至少有两个相同的．
又 $f(n + 2) \ne f(n + 5)$，$f(n + 3) \ne f(n + 5)$，则必有 $f(n + 2) =f(n + 3)$，由此得 $f(n + 3) =f(n + 4)$，故 $f(n + 2) =f(n + 4)$ 矛盾．因此假设不成立，既不存在这样的函数 $f$．
答案
解析
备注
