已知函数 $f(x)=|\sin x|$ 的图象与直线 $y=kx(k>0)$ 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 $\alpha$，求证：$$\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha+\sin3\alpha}=\dfrac{1+4\alpha^2}{4\alpha}.$$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $f(x)$ 的图象与直线 $y=kx(k>0)$ 的三个交点如图所示，
且在 $\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$ 内相切，其切点为$$A(\alpha,-\sin\alpha),\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right),$$由于 $f'(x)=-\cos x,x\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$，所以$$-\cos\alpha=-\dfrac{\sin\alpha}{\alpha},$$即 $\alpha=\tan\alpha$，因此$$\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha+\sin3\alpha}=\dfrac{\cos\alpha}{2\sin2\alpha\cos\alpha}=\dfrac{1}{4\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{1+\tan^2\alpha}{4\tan\alpha}=\dfrac{1+\alpha^2}{4\alpha}.$$
且在 $\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$ 内相切，其切点为$$A(\alpha,-\sin\alpha),\alpha\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right),$$由于 $f'(x)=-\cos x,x\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$，所以$$-\cos\alpha=-\dfrac{\sin\alpha}{\alpha},$$即 $\alpha=\tan\alpha$，因此$$\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha+\sin3\alpha}=\dfrac{\cos\alpha}{2\sin2\alpha\cos\alpha}=\dfrac{1}{4\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{1+\tan^2\alpha}{4\tan\alpha}=\dfrac{1+\alpha^2}{4\alpha}.$$
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