2015年全国高中数学联赛福建省预赛

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  函数与方程

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  函数最值

$1$

方法一：由 $4x^2 - 8x + 3 \geqslant 0$，得 $x \leqslant \dfrac{1}{2}$ 或 $x \geqslant \dfrac{3}{2}$．
所以，函数的定义域为 $\left(-\infty,\dfrac{1}{2} \right]\cup \left[\dfrac{3}{2},+\infty \right)$．
记 $y = f(x) = 2x + \sqrt{4x^2 -8x +3}$，则$$f'(x) = 2 + \dfrac{8x - 8}{2\sqrt{4x^2 - 8x +3}} = 2 +\dfrac{4x -4}{\sqrt{4x^2 - 8x +3}}.$$当 $x > \dfrac{3}{2}$ 时，易知 $f'(x) >0$，则 $f(x) = 2x + \sqrt{4x^2 -8x +3}$ 在 $ \left[\dfrac{3}{2},+\infty \right)$ 上为增函数．
所以，当 $x \geqslant \dfrac{3}{2} $ 时，$f(x)$ 的最小值为 $f\left(\dfrac{3}{2}\right) = 3$．
当 $x <\dfrac{1}{2}$ 时，\[\begin{split} f'(x)&=2+ \dfrac{4x -4}{\sqrt{4x^2 - 8x +3}} \\&=2 - \dfrac{4(1-x)}{\sqrt{4(x - 1)^2 -1}} \\&<2 - \dfrac{4(1-x)}{2(1-x)} =0. \end{split}\]则 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{1}{2} \right]$ 上为减函数，所以，当 $x \leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1$．
综合可得，函数 $y=2x + \sqrt{4x^2 -8x +3}$ 的最小值为 $1$．
方法二：函数化为 $y =(2x - 2) + \sqrt{(2x- 2)^2 - 1} +2.$
由 $(2x - 2)^2 \geqslant 1$，知 $\lvert 2x - 2 \rvert \geqslant 1$，可设$$2x - 2 = \dfrac{1}{\sin \alpha} \left(-\dfrac{\pi}{2} \leqslant \alpha \leqslant \dfrac{\pi}{2},\text{且 }\alpha \ne 0 \right).$$当 $0<\alpha \leqslant \dfrac{\pi}{2}$ 时，\[\begin{split} y&=\dfrac{1}{\sin \alpha} + \sqrt{\dfrac{1}{\sin ^2 \alpha} - 1} +2 \\&= \dfrac{1 +\cos \alpha}{\sin \alpha} +2 \\&= \dfrac{1}{\tan \dfrac{\alpha}{2}} +2, \end{split}\]此时，当 $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$，即 $x = \dfrac{3}{2}$ 时，$y$ 取最小值 $3$．
当 $-\dfrac{\pi}{2} \leqslant \alpha < 0$ 时，\[\begin{split} y &= \dfrac{1}{\sin \alpha} + \sqrt{\dfrac{1}{\sin ^2} - 1} +2 \\&=\dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} +2 = \tan \dfrac{\alpha}{2} +2, \end{split}\]此时，当 $\alpha = -\dfrac{\pi}{2}$，即 $x =\dfrac{1}{2}$ 时，$y$ 取最小值 $1$．
综合可得，函数 $y = 2x +\sqrt{4x^2 -8x +3}$ 的最小值为 $1$．
方法三：由 $y = 2x +\sqrt{4x^2 -8x +3}$，得$$(y - 2x)^2 = 4x^2 - 8x + 3,$$即 $y^2 - 4xy + 4x^2 = 4x^2 -8x +3$，从而有 $x = \dfrac{y^2 - 3}{4y - 8}$．
依题意，有 $y \geqslant 2x$，因此，$\dfrac{y^2 -3}{4y - 8} \leqslant \dfrac{1}{2}y.$
所以，$y - \dfrac{y^2 -3}{2y - 4}\geqslant 0$，即 $\dfrac{(y-3)(y-1)}{2(y-2)} \geqslant 0$，解得 $1 \leqslant y <2$ 或 $y \geqslant 3$．
将 $y = 1$ 代入方程 $y = 2x + \sqrt{4x^2 -8x +3}$，解得 $x =\dfrac{1}{2}$．
所以，$y = 1$ 在函数 $y = 2x + \sqrt{4x^2 -8x +3}$ 的值域内．
因此，函数 $y = 2x + \sqrt{4x^2 -8x +3}$ 的最小值为 $1$．