已知 $f(x)=x-1-\ln x$，若两相异正实数 $x_1,x_2$ 满足 $f(x_1)=f(x_2)$，求证：$f'(x_1)+f'(x_2)<0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)=1-\dfrac 1x$，于是欲证不等式即 $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>2$．问题转化为
已知 $g(x)=\ln x+\dfrac 1x-1$，若实数 $x_1,x_2$ 满足 $0<x_1<1<x_2$ 且 $g(x_1)=g(x_2)$，求证：$x_1+x_2>2$．
我们利用对称化构造辅助命题：$$\forall x\in (0,1),g(1+x)<g(1-x).$$引理的证明是容易的，令函数$$h(x)=\ln{(1-x)}+\dfrac{1}{1-x}-\ln{(1+x)}-\dfrac{1}{1+x},$$则其导函数$$h'(x)=\dfrac{x}{(1-x)^2}-\dfrac{x}{(1+x)^2}>0,$$而 $h(0)=0$，于是 $h(x)>0$，即辅助命题得证．
应用辅助命题我们有$$g(x_2)=g(x_1)=g[1-(1-x_1)]>g(2-x_1),$$而 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，于是 $x_2>2-x_1$，即 $x_1+x_2>2$，从而原命题得证．
也可以用齐次化方法或对数平均不等式证明．
已知 $g(x)=\ln x+\dfrac 1x-1$，若实数 $x_1,x_2$ 满足 $0<x_1<1<x_2$ 且 $g(x_1)=g(x_2)$，求证：$x_1+x_2>2$．
我们利用对称化构造辅助命题：$$\forall x\in (0,1),g(1+x)<g(1-x).$$引理的证明是容易的，令函数$$h(x)=\ln{(1-x)}+\dfrac{1}{1-x}-\ln{(1+x)}-\dfrac{1}{1+x},$$则其导函数$$h'(x)=\dfrac{x}{(1-x)^2}-\dfrac{x}{(1+x)^2}>0,$$而 $h(0)=0$，于是 $h(x)>0$，即辅助命题得证．应用辅助命题我们有$$g(x_2)=g(x_1)=g[1-(1-x_1)]>g(2-x_1),$$而 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，于是 $x_2>2-x_1$，即 $x_1+x_2>2$，从而原命题得证．
也可以用齐次化方法或对数平均不等式证明．
答案
解析
备注
