题目 设函数 $f(x)=x(1+x)^2,x\in (-\infty,0]$． 问题1 求 $f(x)$ 的极值点； 答案1 $f(x)$ 有两个极值点：$x=-1$ 是极大值点，$f(-1)=0;x=-\dfrac 13$ 是极小值点，$f\left(-\dfrac 13\right)=-\dfrac 4{27}$ 解析1 \[\begin{split} f'(x)&=(1+x)^2+2x(1+x)\\&=(1+x)(1+3x)\\&=0, \end{split}\]解得 $x=-1,x=-\dfrac 13$．当 $x<-1$ 或 $x>-\dfrac 13$ 时，$f'(x)>0$；当 $-1<x<-\dfrac 13$ 时，$f'(x)<0$．<br/>所以，$f(x)$ 有两个极值点：$x=-1$ 是极大值点，$f(-1)=0;x=-\dfrac 13$ 是极小值点，$f\left(-\dfrac 13\right)=-\dfrac 4{27}$． 备注1 问题2 对任意 $a<0$，以 $F(a)$ 记 $f(x)$ 在 $[a,0]$ 上的最小值点，求 $k=\dfrac {F(a)}{a}$ 的最小值． 答案2 $k$ 的最小值为 $\dfrac 19$，此时 $a=-\dfrac 43$ 解析2 如图所示，过点 $\left(-\dfrac 13,-\dfrac 4{27}\right)$ 作直线 $y=-\dfrac 4{27}$，与 $f(x)$ 的图象相交的另一个交点为 $A\left(x,-\dfrac 4{27}\right)$，则有$$-\dfrac 4{27}=x(x+1)^2.$$即$$27x^3+54x^2+27x+4=0.$$已知有解 $x=-\dfrac 13$，则有$$(3x+1)(9x^2+15x+4)=0,$$解得另一交点为 $\left(-\dfrac 43,-\dfrac 4{27}\right)$．当 $a<-\dfrac 43$ 时，$F(a)=f(a)$，则$$k=\dfrac {f(a)}{a}=(1+a)^2>\dfrac 19;$$当 $-\dfrac 43\leqslant a\leqslant -\dfrac 13$ 时，$F(a)=-\dfrac 4{27}$，则$$k=\dfrac {-\dfrac 4{27}}{a}\geqslant \dfrac {-\dfrac 4{27}}{-\dfrac 43}=\dfrac 19,$$特别当 $a=-\dfrac 43$ 时，有 $k=\dfrac 19$；当 $-\dfrac 13<a<0$ 时，$F(a)=f(a)$，则$$k=\dfrac {f(a)}{a}=(1+a)^2>\dfrac 19.$$所以对任意的 $a<0,k$ 的最小值为 $\dfrac 19$，此时 $a=-\dfrac 43$． 备注2