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  函数与方程

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  函数基本性质

定义域为 $[-1,1]$，值域为 $[1-\sqrt2,1]$，$f(x)$ 为单调递减函数证明见解析

定义域 显然，$f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$．
单调性证明 显然函数在 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时单调递减，当 $-1\leqslant x<0$ 时，设$$-1\leqslant x_1<x_2<0,$$计算$$\begin{split} f(x_1)-f(x_2)&=\sqrt{1+\sqrt{1-x_1^2}}-\sqrt{1+x_1}-\sqrt{1+\sqrt{1-x_2^2}}+\sqrt{1+x_2}\\
&=\dfrac{\sqrt{1-x_1^2}-\sqrt{1-x_2^2}}{\sqrt{1+\sqrt{1-x_1^2}}\sqrt{1+\sqrt{1-x_2^2}}}-\dfrac{x_1-x_2}{\sqrt{1+x_1}+\sqrt{1+x_2}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1+\sqrt{1-x_1^2}}\sqrt{1+\sqrt{1-x_2^2}}}\cdot\dfrac{x_2^2-x_1^2}{\sqrt{1-x_1^2}+\sqrt{1-x_2^2}}-\dfrac{x_1-x_2}{\sqrt{1+x_1}+\sqrt{1+x_2}},\end{split}$$由于$$1-x_1^2=(1+x_1)(1-x_1)>1+x_1,$$并且$$1-x_{1,2}^2>1+x_{1,2},x_2-x_1>0,x_2^2-x_1^2<0.$$所以$$\begin{split} f(x_1)-f(x_2)&>\dfrac12\cdot\dfrac{x_2^2-x_1^2}{\sqrt{1-x_1^2}+\sqrt{1-x_2^2}}+\dfrac{x_2-x_1}{\sqrt{1+x_1}+\sqrt{1+x_2}} .\end{split}$$所以 $f(x)$ 在 $[-1,0)$ 上也是单调递减的，从而 $y=f(x)$ 是单调递减函数得证．
值域因此函数的值域为$$[1-\sqrt2,1].$$

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  函数基本性质

$\left[-1,\dfrac18\left[3\sqrt2-1-\sqrt{15-8\sqrt2}(\sqrt2+1)\right]\right)$

作三角函数代换，令$$x=\sin\theta,-\dfrac{\pi}{2}\leqslant \theta\leqslant \dfrac{\pi}{2},$$则$$\begin{split} y&=\sqrt{1+\cos\theta}-\sqrt{1+\sin\theta}\\
&=\sqrt2\cos\dfrac{\theta}{2}-\left(\sin\dfrac{\theta}{2}+\cos\dfrac{\theta}2\right)\\
&=-\sin\dfrac{\theta}2+(\sqrt2-1)\cos\dfrac{\theta}2\\
&=m\sin\left(\dfrac{\theta}{2}+\alpha\right) .\end{split}$$其中$$m=\sqrt{1+(\sqrt2-1)^2}=\sqrt{4-2\sqrt2}>1,$$且$$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2-1}{m},\cos\alpha=-\dfrac1m.$$因为$$\dfrac1m=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2>\dfrac{\sqrt2}2.$$且$$\dfrac{3\pi}{4}<\alpha<\pi,-\dfrac{\pi}4\leqslant\dfrac{\theta}{2}\leqslant \dfrac{\pi}{4},$$所以$$\dfrac{\pi}2<\dfrac{\theta}{2}+\alpha<\dfrac{5\pi}{4},$$令 $y=\dfrac 12$，即有$$m\sin\left(\dfrac{\theta}2+\alpha\right)=\dfrac12.$$于是$$\theta=2\pi-2\arcsin\dfrac1{2m}-2\alpha.$$又$$\begin{split} x&=\sin\theta\\
&=-\left[\sin\left(2\arcsin\dfrac1{2m}\right)\cos2\alpha+\cos\left(2\arcsin\dfrac1{2m}\right)\sin2\alpha\right]\\
&=-\left[\dfrac{1+\sqrt2}{8}\cdot\sqrt{15-8\sqrt2}-\dfrac{3\sqrt2-1}{8}\right]. \end{split}$$由 $y=f(x)$ 的单调性可知原不等式的解集为$$\left[-1,\dfrac18\left[3\sqrt2-1-\sqrt{15-8\sqrt2}(\sqrt2+1)\right]\right).$$