求证不等式 $\sin \dfrac 1 n +\sin \dfrac 2 n>\dfrac 3 n\cos \dfrac 1 n(n \in \mathbb N^*)$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
不等式等价于证明：\[2\sin \dfrac 1 n+\tan \dfrac 1 n >\dfrac 3 n(n \in \mathbb N^*).\]定义函数 $f(x)=2\sin x+\tan x - 3x$，只需证明当 $x\in (0,1]$ 时，$f(x)>0$ 即可．
显然 $f(0)=0$．且\[\begin{split}f'(x)&=2\cos x+\dfrac 1{\cos^2 x}-3\\
&=\cos x+\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-3\\
&\geqslant 3\cdot \left(\cos x\cdot \cos x\cdot \dfrac{1}{\cos^2x}\right)^{\frac 13}-3\\&=0,\end{split}\]故 $f(x)$ 单调递增，进而 $f(x)>0$，不等式成立．
显然 $f(0)=0$．且\[\begin{split}f'(x)&=2\cos x+\dfrac 1{\cos^2 x}-3\\
&=\cos x+\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-3\\
&\geqslant 3\cdot \left(\cos x\cdot \cos x\cdot \dfrac{1}{\cos^2x}\right)^{\frac 13}-3\\&=0,\end{split}\]故 $f(x)$ 单调递增，进而 $f(x)>0$，不等式成立．
答案
解析
备注
