设 $f(x)$ 是定义在 $[1,+\infty)$ 上的增函数，且关于 $x$ 的不等式 $f(k-\cos^{2}x)\leqslant f(k^{2}+\sin x)$ 恒成立．求实数 $k$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$[2,+\infty)$
【解析】
原不等式等价于\[\begin{cases}k-\cos^{2}x\geqslant 1,\\ k-\cos^{2}x\leqslant k^{2}+\sin x\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}k\geqslant 1+\cos^{2}\Rightarrow k\geqslant 2,\\ k^{2}-k\geqslant \sin^{2}x-\sin x-1.\end{cases}\]因为\[\sin^{2}x-\sin x-1=\left(\sin x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{5}{4}\leqslant 1,\]所以 $k^{2}-k-1\geqslant 0$，$k\leqslant \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ 或 $k\geqslant \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$，所以 $k\geqslant 2$，即 $k\in[2,+\infty)$．
答案
解析
备注
