已知曲线 $C_{1}:f(x)=\dfrac{1}{2}\left({\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}\right)$，曲线 $C_{2}:g(x)=\dfrac{1}{2}\left({\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}\right)$，直线 $x=a$ 与曲线 $C_{1}$、$C_{2}$ 分别交于点 $A,B$，曲线 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线为 $l_{1}$，曲线 $C_{2}$ 在点 $B$ 处的切线为 $l_{2}$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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证明：直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 必相交，且交点到直线 $AB$ 的距离为定值；标注答案略解析因为 $f'(x)=\dfrac{1}{2}({\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x})=g(x)$，$g'(x)=\dfrac{1}{2}({\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x})=f(x)$，所以\[k_{l_{1}}=\dfrac{1}{2}({\rm e}^{a}-{\rm e}^{-a}), k_{l_{2}}=\dfrac{1}{2}({\rm e}^{a}+{\rm e}^{-a}).\]又 ${\rm e}^{-a}>0$，所以 $k_{l_{1}}\ne k_{l_{2}}$，故直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 必相交．
又 $l_{1}:y-f(a)=g(a)(x-a)$，$l_{2}:y-g(a)=f(a)(x-a)$，联立求得交点坐标为 $P(a+1,{\rm e}^{a})$．
故点 $P$ 到直线 $AB:x=a$ 的距离 $d=1$ 为定值． -
设 $a<0$，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$．若 $\triangle PAB$ 为钝角三角形，求 $a$ 的取值范围．标注答案$\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\ln(\sqrt 5-2)\right)$解析由 $(1)$ 知，$A\left(a,\dfrac{1}{2}({\rm e}^{a}+{\rm e}^{-a})\right)$、$B\left(a,\dfrac{1}{2}({\rm e}^{a}-{\rm e}^{-a})\right)$、$P(a+1,{\rm e}^{a})$．所以\[\overrightarrow{AB}=(0,-{\rm e}^{-a}), \overrightarrow{AP}=\left(1,\dfrac{1}{2}({\rm e}^{a}-{\rm e}^{-a})\right), \overrightarrow{BP}=\left(1,\dfrac{1}{2}({\rm e}^{a}+{\rm e}^{-a})\right).\]于是，\[\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}({\rm e}^{-2a}-a), \overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{2}({\rm e}^{-2a}+1), \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=1+\dfrac{1}{4}({\rm e}^{2a}-{\rm e}^{-2a}).\]因为 $a<0$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}>0$，$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BP}>0$．
所以，$\angle A$，$\angle B$ 均为锐角，从而 $\angle P$ 为钝角．又\[1+\dfrac{1}{4}({\rm e}^{2a}-{\rm e}^{-2a})<0,\]得 ${\rm e}^{2a}<\sqrt 5-2$，则\[a<\dfrac{1}{2}\ln (\sqrt 5-2).\]故 $a$ 的取值范围为 $\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\ln(\sqrt 5-2)\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
