已知 $A=\left\{x\left|x^2<x\right.\right\},B=\left\{x\left|x^2<\log_a x\right.\right\}$，且 $B\subsetneqq A$，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$(0,1)\cup\left[{\rm e}^{\frac1 {2\rm e}},+\infty\right)$
【解析】
易知 $A=\left\{x\mid 0<x<1 \right\}$，显然有 $a>0$ 且 $a\ne 1$．
① 当 $0<a<1$ 时，若 $x^2<\log_ax$，则必有 $0<x<1$，此时恒有 $B \subset A$．
② 当 $a>1$ 时，对于满足 $0<x<1$ 的任意 $x$，一定有 $x^2>0,\log_ax<0$，此时必有 $x^2>\log_ax$，所以，$A\cap B=\varnothing$．又 $B \subsetneqq A$，所以 $B = \varnothing$．
设 $f(x)=x^2-\log_ax$，则 $B=\varnothing$ 等价于：$f(x)\geqslant 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立．
令\[f'(x)=2x-\dfrac 1{x\ln a}=0,\]得 $x_0 =\sqrt {\dfrac 1{2\ln a}}$，可知：$f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0,+\infty)$ 上单调递增．所以，$f(x)$ 的最小值为 $f(x_0)$．
要使得 $f(x)\geqslant 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，只需 $f(x_0) \geqslant 0$ 即可．\[\begin{split}f(x)&\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac 1{2\ln a}-\log_a \sqrt{\dfrac 1{2\ln a}} \geqslant 0\\&\Leftrightarrow \dfrac 1{2\ln a}-\dfrac{\dfrac 1 2 \ln \dfrac 1{2\ln a}}{\ln a}\geqslant 0\\&\Leftrightarrow 1+\ln(2\ln a)\geqslant 0\\&\Leftrightarrow a\geqslant {\rm e}^{\frac1 {2\rm e}}.\end{split}\]综合 ①② 可知：实数 $a$ 的取值范围 $(0,1)\cup\left[{\rm e}^{\frac1 {2\rm e}},+\infty\right)$．
① 当 $0<a<1$ 时，若 $x^2<\log_ax$，则必有 $0<x<1$，此时恒有 $B \subset A$．
② 当 $a>1$ 时，对于满足 $0<x<1$ 的任意 $x$，一定有 $x^2>0,\log_ax<0$，此时必有 $x^2>\log_ax$，所以，$A\cap B=\varnothing$．又 $B \subsetneqq A$，所以 $B = \varnothing$．
设 $f(x)=x^2-\log_ax$，则 $B=\varnothing$ 等价于：$f(x)\geqslant 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立．
令\[f'(x)=2x-\dfrac 1{x\ln a}=0,\]得 $x_0 =\sqrt {\dfrac 1{2\ln a}}$，可知：$f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0,+\infty)$ 上单调递增．所以，$f(x)$ 的最小值为 $f(x_0)$．
要使得 $f(x)\geqslant 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，只需 $f(x_0) \geqslant 0$ 即可．\[\begin{split}f(x)&\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac 1{2\ln a}-\log_a \sqrt{\dfrac 1{2\ln a}} \geqslant 0\\&\Leftrightarrow \dfrac 1{2\ln a}-\dfrac{\dfrac 1 2 \ln \dfrac 1{2\ln a}}{\ln a}\geqslant 0\\&\Leftrightarrow 1+\ln(2\ln a)\geqslant 0\\&\Leftrightarrow a\geqslant {\rm e}^{\frac1 {2\rm e}}.\end{split}\]综合 ①② 可知：实数 $a$ 的取值范围 $(0,1)\cup\left[{\rm e}^{\frac1 {2\rm e}},+\infty\right)$．
答案
解析
备注
