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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15507 5966ea64030398000978b2d6 高中 解答题 自招竞赛 已知 $x$，$y$，$z$ 为正实数．求证：$$\dfrac {z-y}{x+2y}+\dfrac {x-z}{y+2z}+\dfrac {y-x}{z+2x}\geqslant 0.$$ 2022-04-17 19:15:14
15480 596b202222d1400008181696 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 为正实数，且 $a+b+c=1$，求证：$$(a^2+b^2+c^2)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\right)\geqslant\dfrac12.$$ 2022-04-17 19:01:14
15476 596c0a2422d14000072f8573 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{10}$ 满足$$\sum\limits_{i=1}^{10}{|x_i-1|}\leqslant4,\sum\limits_{i=1}^{10}{|x_i-2|}\leqslant6,$$求 $x_1,x_2,\cdots,x_{10}$ 的平均值 $\overline{x}$． 2022-04-17 19:00:14
15461 596d86f877128b0009c08b98 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=x^2+mx+n$，若不等式 $|f(x)|>2$ 在区间 $[1,5]$ 上无解． 2022-04-17 19:54:13
15456 596eaa79dbbeff0009d29d9f 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c,d$ 为正实数，且 $a+b+c+d=4$．证明：$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}+\dfrac{d^2}{a}\geqslant 4+(a-b)^2.$$ 2022-04-17 19:50:13
15444 5976de8108809e0009944a4f 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_i\in \mathbb R^+$（$i=1,2,\cdots ,2010$）且 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2010}{x_i^{2009}}=1$．试求 $\displaystyle \min\left(\sum\limits_{i=1}^{2010}{\dfrac{x_i^{2008}}{1-x_i^{2009}}}\right)$，并给出证明． 2022-04-17 19:44:13
15428 597ab5bd0a41cd000724718e 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $(x^{2008}+1)(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2006})=2008x^{2007}$ 的实数解． 2022-04-17 19:35:13
15405 597ec5cad05b90000c8058cf 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=8x^3+ax^2+bx$，是否存在实数 $a,b$，使得对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $|f(x)|\leqslant 2$．若存在，求出 $a,b$ 的值；若不存在，请说明理由． 2022-04-17 19:22:13
15399 59818e18400acd00094aaae8 高中 解答题 自招竞赛 设正实数 $a,b,c$ 满足 $a\leqslant b \leqslant c$，且 $a^2+b^2+c^2=9$．证明：$abc+1>3a$． 2022-04-17 19:20:13
15395 5982ce8765a6ba00070eee62 高中 解答题 自招竞赛 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c\leqslant 3$．求证： 2022-04-17 19:17:13
15382 59890d825ed01a000ad799c3 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a,b$ 满足 $0\leqslant a\leqslant \dfrac{1}{2}\leqslant b\leqslant 1$，证明：$2(b-a)\leqslant \cos\pi a-\cos\pi b$． 2022-04-17 19:08:13
15379 598914055ed01a000ad799f3 高中 解答题 自招竞赛 求正整数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}$ 和 $n$，使得 $k_{1}+k_{2}+\cdots k_{n}=5n-4$，且 $\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\cdots +\dfrac{1}{k_{n}}=1$． 2022-04-17 19:07:13
15378 5989177e5ed01a000ba75ca3 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 是不全为 $0$ 的实数，求 $F=\dfrac{ab-bc+c^{2}}{a^{2}+2b^{2}+3c^{2}}$ 的取值范围．$a,b,c$ 分别满足什么条件时，$F$ 取最大值与最小值？ 2022-04-17 19:06:13
15373 598960175a1cff0009ea2302 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b,c$ 为正实数，求证：$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}$． 2022-04-17 19:03:13
15362 598ab33d7295a3000ab7ac11 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $x,y$ 满足 $2^x+3^y=4^x+9^y$，试求 $U=8^x+27^y$ 的取值范围． 2022-04-17 19:58:12
15351 598c0c8ade229f0008daf608 高中 解答题 自招竞赛 （14分）已知非负实数 $a$、$b$、$c$ 满足 $a+b+c=1$，记\[S=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}.\]求证：$\dfrac 9 4 \leqslant S \leqslant \dfrac 5 2$． 2022-04-17 19:52:12
15336 5992aa601a9d9c0009ac44ab 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正实数 $k$，使得不等式$$ab+bc+ca+k\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)\geqslant 9,$$对所有的正实数 $a,b,c$ 都成立． 2022-04-17 19:43:12
15327 59a76bf1c3021700077da33d 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\omega$ 是整系数方程 $x^2+ax+b=0$ 的一个无理根，求证：存在常数 $C>0$，使得对任意互质的正整数 $p,q$，均有 $\left|\omega-\dfrac pq\right|\geqslant \dfrac{C}{q^2}$． 2022-04-17 19:39:12
15325 59ae77ca00b0ef000951d640 高中 解答题 自招竞赛 解不等式：$\arccos 3x+\arcsin (x+1)\leqslant \dfrac{7\pi}6$． 2022-04-17 19:38:12
15323 59b62304b049650007282ff3 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，$S$ 是 $\triangle ABC$ 的面积，求证：$ab+bc+ca\geqslant 4\sqrt 3S$． 2022-04-17 19:37:12
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