设 $a,b,c,d$ 为正实数，且 $a+b+c+d=4$．证明：$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}+\dfrac{d^2}{a}\geqslant 4+(a-b)^2.$$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$a+b+c+d=4,$$要证原不等式成立，等价于证明$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}+\dfrac{d^2}{a}\geqslant a+b+c+d+\dfrac{4(a-b)^2}{a+b+c+d}.\cdots \text{ ① }$$事实上，\[\begin{split}&\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}+\dfrac{d^2}{a}-(a+b+c+d)\\=&\left(\dfrac{a^2}{b}+b-2a\right)+\left(\dfrac{b^2}{c}+c-2b\right)+\left(\dfrac{c^2}{d}+d-2c\right)+\left(\dfrac{d^2}{a}+a-2d\right)\\=&\dfrac 1b(a-b)^2+\dfrac 1c(b-c)^2+\dfrac 1d(c-d)^2+\dfrac 1a(d-a)^2,\cdots \text{ ② }\end{split}\]由柯西不等式知\[\begin{split}&\left[\dfrac{(a-b)^2}{b}+\dfrac{(b-c)^2}{c}+\dfrac{(c-d)^2}{d}+\dfrac{(d-a)^2}{a}\right](a+b+c+d)\\ \geqslant &\left(|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|\right)^2.\cdots \text{ ③ }\end{split}\]由绝对值不等式知$$|b-c|+|c-d|+|d-a|\geqslant |b-a|,$$所以$$\left(|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|\right)^2\geqslant 4(a-b)^2.\cdots \text{ ④ }$$由 ②③④，可知 ① 式成立，从而原不等式成立．
答案
解析
备注
