设实数 $a,b$ 满足 $0\leqslant a\leqslant \dfrac{1}{2}\leqslant b\leqslant 1$，证明：$2(b-a)\leqslant \cos\pi a-\cos\pi b$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛江苏复赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $f(x)=2x+\cos \pi x$，欲证不等式转化为 $f(b)\leqslant f(a)$．由于 $f'(x)=2-\pi\sin \pi x$，$f''(x)=-\pi^{2}\cos\pi x$．当 $x\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ 时，\[f''(x)=-\pi^{2}\cos\pi x<0,\]当 $x\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$ 时，\[f''(x)=-\pi^{2}\cos \pi x>0,\]所以 $f'(x)$ 在区间 $\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$ 上单调减，在区间 $\left[\dfrac{1}{2},1\right]$ 上单调增．
因为 $f'(0)=f'(1)=2$ 和 $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=2-\pi<0$，所以存在 $\alpha$ 和 $\beta$，$0<\alpha<\dfrac{1}{2}<\beta<1$，使得 $f'(\alpha)=f'(\beta)=0$，$f'(x)<0$ 当且仅当 $x\in(\alpha,\beta)$．
于是函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\alpha\right]$ 和 $\left[\beta,1\right]$ 上单调增，在区间 $[\alpha,\beta]$ 上单调递减．因为 $f(0)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=f(1)=1$，故对于 $x\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$ 有 $f(x)\geqslant 1$，对于 $x\in\left[\dfrac{1}{2},1\right]$ 有 $f(x)\leqslant 1$．
特别地，$f(b)\leqslant 1\leqslant f(a)$．
因为 $f'(0)=f'(1)=2$ 和 $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=2-\pi<0$，所以存在 $\alpha$ 和 $\beta$，$0<\alpha<\dfrac{1}{2}<\beta<1$，使得 $f'(\alpha)=f'(\beta)=0$，$f'(x)<0$ 当且仅当 $x\in(\alpha,\beta)$．
于是函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\alpha\right]$ 和 $\left[\beta,1\right]$ 上单调增，在区间 $[\alpha,\beta]$ 上单调递减．因为 $f(0)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=f(1)=1$，故对于 $x\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$ 有 $f(x)\geqslant 1$，对于 $x\in\left[\dfrac{1}{2},1\right]$ 有 $f(x)\leqslant 1$．
特别地，$f(b)\leqslant 1\leqslant f(a)$．
答案
解析
备注
