已知正实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c\leqslant 3$．求证：
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
-
$3>\dfrac 1{a+1}+\dfrac 1{b+1}+\dfrac 1{c+1}\geqslant \dfrac 32$；标注答案略解析由 $a,b,c$ 为正数知，$$\begin{split}&\dfrac{1}{a+1}<1,\dfrac{1}{b+1}<1,\dfrac 1{c+1}<1,\\&\dfrac 1{a+1}+\dfrac 1{b+1}+\dfrac 1{c+1}<3.\end{split}$$由柯西不等式得$$\left(\dfrac 1{a+1}+\dfrac 1{b+1}+\dfrac 1{c+1}\right)[(a+1)+(b+1)+(c+1)]\geqslant 9,$$所以$$0<a+b+c\leqslant 3,$$则\[\begin{split}\dfrac 1{a+1}+\dfrac 1{b+1}+\dfrac 1{c+1}&\geqslant \dfrac 9{(a+1)+(b+1)+(c+1)}\\&\geqslant \dfrac 9{3+3}=\dfrac 32.\end{split}\]
-
$\dfrac{a+1}{a(a+2)}+\dfrac{b+1}{b(b+2)}+\dfrac{c+1}{c(c+2)}\geqslant 2$．标注答案略解析由 $(1)$ 以及柯西不等式得\[\begin{split}&\dfrac{a+1}{a(a+2)}+\dfrac{b+1}{b(b+2)}+\dfrac{c+1}{c(c+2)}\\ \geqslant &\dfrac{9}{\dfrac{a(a+2)}{a+1}+\dfrac{b(b+2)}{b+1}}+\dfrac{c(c+2)}{c+1}\\=&\dfrac 9{(a+1)+(b+1)+(c+1)-\left(\dfrac 1{a+1}+\dfrac 1{b+1}+\dfrac 1{c+1}\right)}\\ \geqslant &\dfrac 9{6-\left(\dfrac 1{a+1}+\dfrac 1{b+1}+\dfrac 1{c+1}\right)}\\ \geqslant & \dfrac 9{6-\dfrac 32}\\ \geqslant &2.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
