已知实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{10}$ 满足$$\sum\limits_{i=1}^{10}{|x_i-1|}\leqslant4,\sum\limits_{i=1}^{10}{|x_i-2|}\leqslant6,$$求 $x_1,x_2,\cdots,x_{10}$ 的平均值 $\overline{x}$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$1.4$
【解析】
因为$$\begin{split}10&=\left|\sum\limits_{i=1}^{10}{[(x_i-1)-(x_i-2)]}\right|\\&\leqslant\sum\limits_{i=1}^{10}{|x_i-1|}+\sum\limits_{i=1}^{10}{|x_i-2|}\\&\leqslant10,\end{split}$$所以有$$\sum\limits_{i=1}^{10}{|x_i-1|}=4 , \sum\limits_{i=1}^{10}{|x_i-2|}=6,$$因此 $1\leqslant x_i\leqslant2$，故$$\displaystyle \bar{x}=1+\dfrac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}{(x_i-1)}=1.4.$$
答案
解析
备注
