求最小的正实数 $k$，使得不等式$$ab+bc+ca+k\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)\geqslant 9,$$对所有的正实数 $a,b,c$ 都成立．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
当 $a=b=c=1$ 时，可得 $k\geqslant 2$．下面证明不等式$$ab+bc+ca+2\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)\geqslant 9$$对所有的正实数 $a,b,c$ 都成立．
由均值不等式得$$ab+\dfrac 1a+\dfrac 1b\geqslant 3\sqrt[3]{ab\cdot \dfrac 1a\cdot 1b}=3,$$同理可得\[\begin{split}bc+\dfrac 1b+\dfrac 1c&\geqslant 3,\\ca+\dfrac 1c+\dfrac 1a&\geqslant 3. \end{split}\]把这 $3$ 个不等式相加，得$$ab+bc+ca+2\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)\geqslant 9.$$综上所述，$k$ 的最小值为 $2$．
由均值不等式得$$ab+\dfrac 1a+\dfrac 1b\geqslant 3\sqrt[3]{ab\cdot \dfrac 1a\cdot 1b}=3,$$同理可得\[\begin{split}bc+\dfrac 1b+\dfrac 1c&\geqslant 3,\\ca+\dfrac 1c+\dfrac 1a&\geqslant 3. \end{split}\]把这 $3$ 个不等式相加，得$$ab+bc+ca+2\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)\geqslant 9.$$综上所述，$k$ 的最小值为 $2$．
答案
解析
备注
