已知 $x$，$y$，$z$ 为正实数．求证：$$\dfrac {z-y}{x+2y}+\dfrac {x-z}{y+2z}+\dfrac {y-x}{z+2x}\geqslant 0.$$
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据均值（或柯西）不等式\[\begin{split}& [(x+2y)+(y+2z)+(z+2x)]\left(\dfrac {1}{x+2y}+\dfrac {1}{y+2z}+\dfrac {1}{z+2x}\right)\\ \geqslant & 9\cdot \sqrt[3] {(x+2y)(y+2z)(z+2x)}\cdot \sqrt[3]{\dfrac {1}{x+2y}\cdot \dfrac {1}{y+2z}\cdot \dfrac {1}{z+2x}}=9.\end{split}\]从而$$(x+y+z)\left(\dfrac {1}{x+2y}+\dfrac {1}{y+2z}+\dfrac {1}{z+2x}\right)\geqslant 3.$$因此\[\begin{split}LHS=& \dfrac {z-y}{x+2y}+\dfrac {x-z}{y+2z}+\dfrac {y-x}{z+2x}\\=&\dfrac {x+y+z}{x+2y}+\dfrac {x+y+z}{y+2z}+\dfrac {x+y+z}{z+2x}-3\geqslant 0.\end{split}\]
答案
解析
备注
