（14分）已知非负实数 $a$、$b$、$c$ 满足 $a+b+c=1$，记\[S=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}.\]求证：$\dfrac 9 4 \leqslant S \leqslant \dfrac 5 2$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由均值不等式的推论有$$\left(\dfrac{1}{1+a} + \dfrac{1}{1+b}+ \dfrac{1}{1+c}\right)(1+a+1+b+1+c)\geqslant 3^2,$$即 $S\geqslant \dfrac 9 4$．
构造不等式 $\dfrac {1}{1+a} \leqslant 1-\dfrac a 2$（当 $a=0$ 或 $1$ 时取等号）．注意到\[\dfrac{1}{1+a} \leqslant 1-\dfrac a 2 \Leftrightarrow 1 \leqslant \left(1-\dfrac a 2\right)(1+a)\Leftrightarrow a(1-a) \geqslant 0.\]由 $0 \leqslant a \leqslant 1$ 知，此式成立．
同理 $\dfrac{1}{1+b} \leqslant 1-\dfrac b 2, \dfrac 1{1+c}\leqslant 1- \dfrac c 2$，三式相加得\[S\leqslant 3 - \left(\dfrac a 2 + \dfrac b 2 + \dfrac c 2\right) = \dfrac 5 2.\]当 $a$、$b$、$c$ 中两个为 $0$，一个为 $1$ 时，上式等号成立．故 $S$ 的最大值为 $\dfrac 5 2$．
综上：$\dfrac 9 4 \leqslant S \leqslant \dfrac 5 2$．
构造不等式 $\dfrac {1}{1+a} \leqslant 1-\dfrac a 2$（当 $a=0$ 或 $1$ 时取等号）．注意到\[\dfrac{1}{1+a} \leqslant 1-\dfrac a 2 \Leftrightarrow 1 \leqslant \left(1-\dfrac a 2\right)(1+a)\Leftrightarrow a(1-a) \geqslant 0.\]由 $0 \leqslant a \leqslant 1$ 知，此式成立．
同理 $\dfrac{1}{1+b} \leqslant 1-\dfrac b 2, \dfrac 1{1+c}\leqslant 1- \dfrac c 2$，三式相加得\[S\leqslant 3 - \left(\dfrac a 2 + \dfrac b 2 + \dfrac c 2\right) = \dfrac 5 2.\]当 $a$、$b$、$c$ 中两个为 $0$，一个为 $1$ 时，上式等号成立．故 $S$ 的最大值为 $\dfrac 5 2$．
综上：$\dfrac 9 4 \leqslant S \leqslant \dfrac 5 2$．
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备注
