设 $a,b,c$ 为正实数，且 $a+b+c=1$，求证：$$(a^2+b^2+c^2)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\right)\geqslant\dfrac12.$$
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由排序不等式，有\[\begin{split}&a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca,\\&a^2+b^2+c^2\geqslant ac+ba+cb,\end{split}\]两式相加，得$$2(a^2+b^2+c^2)\geqslant a(b+c)+b(c+a)+c(a+b),$$上式两端同乘 $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$，有\[\begin{split}&2(a^2+b^2+c^2)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\\\geqslant&[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\\\geqslant&(a+b+c)^2\\=&1,\end{split}\]从而有$$(a^2+b^2+c^2)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\geqslant\dfrac12.$$
答案
解析
备注
