已知实数 $x,y$ 满足 $2^x+3^y=4^x+9^y$，试求 $U=8^x+27^y$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$(1,2]$
【解析】
令 $a=2^x,b=3^y$，则已知条件化为 $a+b=a^2+b^2$，且 $a,b>0$．
方法一 考虑到当 $(a,b)= (1,1)$ 时，$u=2$；当 $(a,b)\to (0,1)$ 时，$u\to 1$，接下来证明 $1<u\leqslant u$．
一方面，根据题意，有\[a(a-1)+b(b-1)=0,\]于是 $\max\{a,b\}\geqslant 1$，因此\[a^3+b^3> \left(\max\{a,b\}\right)^2\geqslant 1;\]另一方面，尝试证明\[\left(a^3+b^3\right)(a+b)^3\leqslant 2\left(a^2+b^2\right)^3,\]即\[(a-b)^4\left(a^2+ab+b^2\right)\geqslant 0,\]因此 $u$ 的取值范围是 $(1,2]$．
方法二 设 $x=a+b$，$y=ab$，则\[x^2\geqslant 4y,x>0,y>0.\]根据题意，有\[x=x^2-2y,\]于是\[y=\dfrac{x^2-x}2,\]其中 $1<x\leqslant 2$．此时\[u=a^3+b^3=(a+b)\left[(a+b)^2-3ab\right]=\dfrac 12x^2(3-x),\]结合 $x$ 的取值范围是 $(1,2]$ 可得 $u$ 的取值范围是 $(1,2]$．
一方面，根据题意，有\[a(a-1)+b(b-1)=0,\]于是 $\max\{a,b\}\geqslant 1$，因此\[a^3+b^3> \left(\max\{a,b\}\right)^2\geqslant 1;\]另一方面，尝试证明\[\left(a^3+b^3\right)(a+b)^3\leqslant 2\left(a^2+b^2\right)^3,\]即\[(a-b)^4\left(a^2+ab+b^2\right)\geqslant 0,\]因此 $u$ 的取值范围是 $(1,2]$．
答案
解析
备注
