已知 $a,b,c$ 为正实数，求证：$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证明\[(a^{2}+2)(b^{2}+2)\geqslant \dfrac{3}{2}\left[(a+b)^{2}+2\right]\cdots\cdots\text{ ① }\]要证不等式 ①，即证\[2(a^{2}b^{2}+2a^{2}+2b^{2}+4)\geqslant 3(a^{2}+b^{2}+2ab+2),\]也就是要证\[(2a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}-6ab+2\geqslant 0,\]也即证\[2(ab-1)^{2}+(a-b)^{2}\geqslant 0.\]显然成立．
由柯西不等式，得\[\begin{split}&\quad (a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\\&=\dfrac{3}{2}\left[(a+b)^{2}+2\right](c^{2}+2)\\&=\dfrac{3}{2}\left[\sqrt 2(a+b)+\sqrt 2c\right]^{2}\\&=3(a+b+c)^{2},\end{split}\]从而原不等式得证．
由柯西不等式，得\[\begin{split}&\quad (a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\\&=\dfrac{3}{2}\left[(a+b)^{2}+2\right](c^{2}+2)\\&=\dfrac{3}{2}\left[\sqrt 2(a+b)+\sqrt 2c\right]^{2}\\&=3(a+b+c)^{2},\end{split}\]从而原不等式得证．
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解析
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