设 $x_i\in \mathbb R^+$（$i=1,2,\cdots ,2010$）且 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2010}{x_i^{2009}}=1$．试求 $\displaystyle \min\left(\sum\limits_{i=1}^{2010}{\dfrac{x_i^{2008}}{1-x_i^{2009}}}\right)$，并给出证明．
【难度】
【出处】
2009年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于$$\sum\limits_{i=1}^{2010}\dfrac{x_i^{2008}}{1-x_i^{2009}}=\sum\limits_{i=1}^{2010}\dfrac{x_i^{2009}}{x_i\left(1-x_i^{2009}\right)},$$令 $y_i=x_i\left(1-x_i^{2009}\right)$，则对于任意 $1\leqslant i\leqslant 2010$，有\[\begin{split}y_i^{2009}&=\dfrac 1{2009}\left(2009x_i^{2009}\right)\left(1-x_i^{2009}\right)^{2009}\\& \leqslant \dfrac 1{2009}\left(\dfrac{2009x_i^{2009}+2009\left(1-x_i^{2009}\right)}{2010}\right)^{2010}\\&=\dfrac 1{2009}\left(\dfrac{2009}{2010}\right)^{2010},\end{split}\]即有$$y_i\leqslant \left(\dfrac 1{2009}\left(\dfrac{2009}{2010}\right)^{2010}\right)^{\frac 1{2009}}=2009(2010)^{-\frac{2010}{2009}},$$从而有$$\dfrac 1{y_i}\geqslant \dfrac{(2010)^{\frac{2010}{2009}}}{2009}=\dfrac{2010}{2009}\sqrt[2009]{2010}.$$由于 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2010}x_i^{2009}=1$，所以\[\begin{split}\sum\limits_{i=1}^{2010}\dfrac{x_i^{2008}}{1-x_i^{2009}}&=\sum\limits_{i=1}^{2010}\dfrac{x_i^{2009}}{x_i\left(1-x_i^{2009}\right)}\\&\geqslant \dfrac{2010}{2009}\sqrt[2009]{2010},\end{split}\]上式等号成立的充要条件是 $2009x_i^{2009}=1-x_i^{2009}$，即 $x_i=\dfrac 1{\sqrt[2009]{2010}}$，$1\leqslant i\leqslant 2010$．
因此$$\min\left(\sum\limits_{i=1}^{2010}\dfrac{x_i^{2008}}{1-x_i^{2009}}\right)=\dfrac{2010}{2009}\sqrt[2009]{2010}.$$
因此$$\min\left(\sum\limits_{i=1}^{2010}\dfrac{x_i^{2008}}{1-x_i^{2009}}\right)=\dfrac{2010}{2009}\sqrt[2009]{2010}.$$
答案
解析
备注
