求正整数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}$ 和 $n$，使得 $k_{1}+k_{2}+\cdots k_{n}=5n-4$，且 $\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\cdots +\dfrac{1}{k_{n}}=1$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
当 $n=1$ 时，$k=1$；当 $n=4$ 时，$k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{4}=4$；当 $n=3$ 时，$(k_{1},k_{2},k_{3})=(2,3,6)$ 及其循环解
【解析】
由 $k_{i}>0(i=1,2,\cdots,n)$，则\[\left(\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\dfrac{1}{k_{3}}+\cdots +\dfrac{1}{k_{n}}\right)(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n})\geqslant n^{2}.\cdots\cdots \text{ ① }\]所以，$5n+4\geqslant n^{2}$，解得 $1\leqslant n\leqslant 4$．
由式 ① 等式成立条件知，当 $n=1$ 或 $n=4$ 时，所有的 $k_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 均相等．
当 $n=1$ 时，$\dfrac{1}{k}=1$，即 $k=1$．
当 $n=4$ 时，$k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}=16$，且\[\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\dfrac{1}{k_{3}}+\dfrac{1}{k_{4}}=1.\]解得 $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{4}=4$．
当 $n=2$ 时，$k_{1}+k_{2}=6$，且 $\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}=1$，此二式相乘得 $\dfrac{k_{2}}{k_{1}}+\dfrac{k_{1}}{k_{2}}=4$．则 $\dfrac{k_{2}}{k_{1}}$ 为无理数，矛盾，无解．
当 $n=3$ 时，$k_{1}+k_{2}+k_{3}=11$，且 $\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\dfrac{1}{k_{3}}=1$．
不妨设 $k_{1}\leqslant k_{2}\leqslant k_{3}$，则 $1=\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\dfrac{1}{k_{3}}\leqslant \dfrac{3}{k_{1}}$．解得 $k_{1}\leqslant 3$．
若 $k_{1}=2$ 时，则 $\dfrac{1}{k_{2}}+\dfrac{1}{k_{3}}=\dfrac{1}{2}$，$k_{2}+k_{3}=9$，得 $k_{2}=3$，$k_{3}=6$；
若 $k_{2}=3$ 时，则由 $k_{1}\leqslant k_{2}\leqslant k_{3}$，$k_{2}=3$，$k_{3}=3$，与 $k_{1}+k_{2}+k_{3}=11$ 矛盾．
综上，当 $n=1$ 时，$k=1$；
当 $n=4$ 时，$k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{4}=4$；
当 $n=3$ 时，$(k_{1},k_{2},k_{3})=(2,3,6)$ 及其循环解．
由式 ① 等式成立条件知，当 $n=1$ 或 $n=4$ 时，所有的 $k_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 均相等．
当 $n=1$ 时，$\dfrac{1}{k}=1$，即 $k=1$．
当 $n=4$ 时，$k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}=16$，且\[\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\dfrac{1}{k_{3}}+\dfrac{1}{k_{4}}=1.\]解得 $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{4}=4$．
当 $n=2$ 时，$k_{1}+k_{2}=6$，且 $\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}=1$，此二式相乘得 $\dfrac{k_{2}}{k_{1}}+\dfrac{k_{1}}{k_{2}}=4$．则 $\dfrac{k_{2}}{k_{1}}$ 为无理数，矛盾，无解．
当 $n=3$ 时，$k_{1}+k_{2}+k_{3}=11$，且 $\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\dfrac{1}{k_{3}}=1$．
不妨设 $k_{1}\leqslant k_{2}\leqslant k_{3}$，则 $1=\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}+\dfrac{1}{k_{3}}\leqslant \dfrac{3}{k_{1}}$．解得 $k_{1}\leqslant 3$．
若 $k_{1}=2$ 时，则 $\dfrac{1}{k_{2}}+\dfrac{1}{k_{3}}=\dfrac{1}{2}$，$k_{2}+k_{3}=9$，得 $k_{2}=3$，$k_{3}=6$；
若 $k_{2}=3$ 时，则由 $k_{1}\leqslant k_{2}\leqslant k_{3}$，$k_{2}=3$，$k_{3}=3$，与 $k_{1}+k_{2}+k_{3}=11$ 矛盾．
综上，当 $n=1$ 时，$k=1$；
当 $n=4$ 时，$k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{4}=4$；
当 $n=3$ 时，$(k_{1},k_{2},k_{3})=(2,3,6)$ 及其循环解．
答案
解析
备注
