设 $f(x)=x^2+mx+n$，若不等式 $|f(x)|>2$ 在区间 $[1,5]$ 上无解．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
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求 $f(1)-2f(3)+f(5)$ 的值；标注答案$8$解析根据 $f(x)$ 的解析式直接计算可得$$\begin{split}&f(1)-2f(3)+f(5)\\=&(1+m+n)-2(9+3m+n)+(25+5m+n)\\=&8.\end{split}$$
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求所有符合题意的实数对 $(m,n)$．标注答案$(-6,7)$解析假设存在这样的实数对 $(m,n)$ 使得 $|f(x)|\leqslant 2$ 对一切 $x\in[1,5]$ 恒成立．
分别取 $x=1,3,5$，得\[\begin{split}&\left|f(1)\right|=|1+m+n|\leqslant 2,\\ &|f(3)|=|9+3m+n|\leqslant 2,\\& |f(5)|=|25+5m+n|\leqslant 2.\end{split}\]又 $f(1)-2f(3)+f(5)=8$，所以\[\begin{split}8&=|f(1)-2f(3)+f(5)|\\&\leqslant |f(1)|+2|f(3)|+|f(5)|\\& \leqslant 2+2\cdot 2+2\\&=8.\end{split}\]故$$\begin{cases}f(1)=f(5)=2,\\ f(3)=-2,\end{cases}$$即$$\begin{cases}1+m+n=2,\\25+5m+n=2,\\ 9+3m+n=-2,\end{cases}$$解得$$m=-6,n=7.$$当 $m=-6$ 且 $n=7$ 时，$f(x)=x^2-6x+7$ 在 $x\in[1,5]$ 上满足 $|f(x)|\leqslant 2$ 恒成立．
综上所述，所求实数对 $(m,n)=(-6,7)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
