已知点 $P$ 为锐角 $\triangle ABC$ 内部任意一点，点 $EF$ 分别为 $P$ 在边 $AC,AB$ 上的射影．$BP,CP$ 的延长线分别交 $\triangle ABC$ 的外接圆于点 $B_1 , C_1$，设 $\triangle ABC$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R$ 和 $r$．求证：$\dfrac{E F}{B_{1} C_{1}} \geqslant \dfrac{r}{R}$，并确定等号成立时点P的位置．
【难度】
【出处】
2012年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
作 $PD\perp BC$ 于点 $D$，连结 $AP$ 并延长交 $\triangle ABC$ 的外接圆于点 $A_1$，连结 $DE,DF,A_1 B_1 ,A_1 C_1$，如图
由 $P,D,B,F$ 四点共圆，知 $\angle PDF=\angle PBF$．
由 $P,D,C,E$ 四点共圆，知 $\angle PDE=\angle PCE$．
所以 $\angle FDE=\angle PDF+\angle PDE=\angle PBF+\angle PCE=\angle AA_1 B_1 +\angle AA_1 C_1 =\angle C_1 A_1 B_1$．
同理可知，$\angle DEF=\angle A_1 B_1 C_1$，$\angle DFE=\angle A_1 C_1 B_1$．故 $\triangle DEF\sim\triangle A_1 B_1 C_1$．
注意到，$\triangle A_1 B_1 C_1$ 的外接圆半径为 $R$，$\triangle DEF$ 的外接圆与 $\triangle ABC$ 的三边都有公共点，因此其半径不小于 $\triangle ABC$ 的内切圆半径 $r$（事实上，设 $\triangle DEF$ 的外接圆半径为 $R'$，圆心为 $O'$，连结 $AO',BO',CO'$，如图
则
$\begin{aligned}
S_{\triangle A B C}&=S_{\triangle O' A B}+S_{\triangle O' B C}+S_{\triangle O' A C}\leqslant \frac{A B \cdot O^{\prime} F}{2}+\frac{B C \cdot O^{\prime} D}{2}+\frac{C A \cdot O^{\prime} E}{2}=\frac{(A B+B C+C A) \cdot R^{\prime}}{2}
\end{aligned}$
而 $S_{\triangle A B C}=\dfrac{(A B+B C+C A) \cdot r}{2}$，故 $r\leqslant R'$．
当且仅当 $O'D\perp BC,O'E\perp CA,O'F\perp AB$，即 $P$ 为 $\triangle ABC$ 的内心时等号成立）．
因此，$\dfrac{E F}{B_{1} C_{1}} \geqslant \dfrac{r}{R}$，当且仅当 $P$ 为 $\triangle ABC$ 的内心时等号成立．
由 $P,D,B,F$ 四点共圆，知 $\angle PDF=\angle PBF$．由 $P,D,C,E$ 四点共圆，知 $\angle PDE=\angle PCE$．
所以 $\angle FDE=\angle PDF+\angle PDE=\angle PBF+\angle PCE=\angle AA_1 B_1 +\angle AA_1 C_1 =\angle C_1 A_1 B_1$．
同理可知，$\angle DEF=\angle A_1 B_1 C_1$，$\angle DFE=\angle A_1 C_1 B_1$．故 $\triangle DEF\sim\triangle A_1 B_1 C_1$．
注意到，$\triangle A_1 B_1 C_1$ 的外接圆半径为 $R$，$\triangle DEF$ 的外接圆与 $\triangle ABC$ 的三边都有公共点，因此其半径不小于 $\triangle ABC$ 的内切圆半径 $r$（事实上，设 $\triangle DEF$ 的外接圆半径为 $R'$，圆心为 $O'$，连结 $AO',BO',CO'$，如图
则$\begin{aligned}
S_{\triangle A B C}&=S_{\triangle O' A B}+S_{\triangle O' B C}+S_{\triangle O' A C}\leqslant \frac{A B \cdot O^{\prime} F}{2}+\frac{B C \cdot O^{\prime} D}{2}+\frac{C A \cdot O^{\prime} E}{2}=\frac{(A B+B C+C A) \cdot R^{\prime}}{2}
\end{aligned}$
而 $S_{\triangle A B C}=\dfrac{(A B+B C+C A) \cdot r}{2}$，故 $r\leqslant R'$．
当且仅当 $O'D\perp BC,O'E\perp CA,O'F\perp AB$，即 $P$ 为 $\triangle ABC$ 的内心时等号成立）．
因此，$\dfrac{E F}{B_{1} C_{1}} \geqslant \dfrac{r}{R}$，当且仅当 $P$ 为 $\triangle ABC$ 的内心时等号成立．
答案
解析
备注
