2016IMO Short List

$P(x)=c$（整数 $c$ 满足 $1\leqslant c\leqslant 9$）或 $P(x)=x$．
下面对于 $P(x)$ 的次数分情况讨论．
（1）若 $P(x)$ 为常值多项式．设 $P(x)=c$（$c$ 为整数，且为常数）．则式（1）化为 $S(c)=c$．于是，当且仅当 $1\leqslant c\leqslant 9$ 时，上式成立．
（2）若 $\deg P=1$．首先，对于任意正整数 $m,n$，均有\begin{equation}
S(m+n) \leqslant S(m)+S(n)
\end{equation}当且仅当 $m+n$ 不进位时，式（2）等号成立．设 $P(x)=ax+b$（$a,b$ 为整数，$a\neq 0$）．而对于足够大的 $n$，$P(n)$ 为正整数，则 $a$ 为正整数．从而，对于任意正整数 $n\geqslant 2016$，式（1）化为$$S(an+b)=aS(n)+b$$分别令 $n=2025,2020$，得$$S(2025a+b)-S(2020a+b)=(aS(2025)+b)-(aS(2020)+b)=5a$$其次，由式（2）知$$S(2025a+b)=S((2020a+b)+5a)\leqslant S(2020a+b)+S(5a)$$这表明，$5a\leqslant S(5a)$．由于 $a$ 为正整数，则仅当 $a=1$ 时上述不等式成立．从而，对于任意正整数 $n\geqslant 2016$，式（1）化为 $S(n+b)=S(n)+b$．故\begin{equation}
S(n+1+b)-S(n+b)=(S(n+1)+b)-(S(n)+b)=S(n+1)-S(n)
\end{equation}若 $b>0$，则存在正整数 $n$，使得对于足够大的正整数 $k$，有 $n+1+b=10^k$．注意到，$n+b$ 的所有数码均为 $9$．则式（3）的左边等于 $1-9k$．由 $n<10^k -1$，知 $S(n)<9k$．于是，式（3）的右边至少为 $1-(9k-1)=2-9k$，矛盾．
若 $b<0$，类似地考虑 $n+1$ 为足够大的 $10$ 的幂，仍可得到矛盾．因此，$P(x)=x$，且 $P(x)=x$ 满足式（1）．
（3）若 $\deg P\geqslant 2$．设 $P$ 的首项为 $a_d x^d$（$a_d \neq 0$），类似于（2）知 $a_d >0$．在式（1）中取 $n=10^k -1$．则\begin{equation}
S(P(n))=P(9 k)
\end{equation}注意到，$P(n)$ 以 $n^d$ 量级递增．则 $S(P(n))$ 以一个常数乘以 $k$ 的量级递增．又 $P(9k)$ 以 $k^d$ 的量级递增，由于 $d\geqslant 2$，故当 $k$ 足够大时，式（4）不可能成立．
综上，$P(x)=c$（$1\leqslant c\leqslant 9$）或 $P(x)=x$

略