对于任意正整数 $k$,$S(k)$ 为 $k$ 在十进制表示下的各位数码之和.求所有整系数多项式 $P(x)$,使得对于任意正整数 $n\geqslant 2016$,$P(n)$ 为正整数,且\begin{equation}
S(P(n))=P(S(n))
\end{equation}
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
$P(x)=c$(整数 $c$ 满足 $1\leqslant c\leqslant 9$)或 $P(x)=x$.
下面对于 $P(x)$ 的次数分情况讨论.
(1)若 $P(x)$ 为常值多项式.设 $P(x)=c$($c$ 为整数,且为常数).则式(1)化为 $S(c)=c$.于是,当且仅当 $1\leqslant c\leqslant 9$ 时,上式成立.
(2)若 $\deg P=1$.首先,对于任意正整数 $m,n$,均有\begin{equation}
S(m+n) \leqslant S(m)+S(n)
\end{equation}当且仅当 $m+n$ 不进位时,式(2)等号成立.设 $P(x)=ax+b$($a,b$ 为整数,$a\neq 0$).而对于足够大的 $n$,$P(n)$ 为正整数,则 $a$ 为正整数.从而,对于任意正整数 $n\geqslant 2016$,式(1)化为$$S(an+b)=aS(n)+b$$分别令 $n=2025,2020$,得$$S(2025a+b)-S(2020a+b)=(aS(2025)+b)-(aS(2020)+b)=5a$$其次,由式(2)知$$S(2025a+b)=S((2020a+b)+5a)\leqslant S(2020a+b)+S(5a)$$这表明,$5a\leqslant S(5a)$.由于 $a$ 为正整数,则仅当 $a=1$ 时上述不等式成立.从而,对于任意正整数 $n\geqslant 2016$,式(1)化为 $S(n+b)=S(n)+b$.故\begin{equation}
S(n+1+b)-S(n+b)=(S(n+1)+b)-(S(n)+b)=S(n+1)-S(n)
\end{equation}若 $b>0$,则存在正整数 $n$,使得对于足够大的正整数 $k$,有 $n+1+b=10^k$.注意到,$n+b$ 的所有数码均为 $9$.则式(3)的左边等于 $1-9k$.由 $n<10^k -1$,知 $S(n)<9k$.于是,式(3)的右边至少为 $1-(9k-1)=2-9k$,矛盾.
若 $b<0$,类似地考虑 $n+1$ 为足够大的 $10$ 的幂,仍可得到矛盾.因此,$P(x)=x$,且 $P(x)=x$ 满足式(1).
(3)若 $\deg P\geqslant 2$.设 $P$ 的首项为 $a_d x^d$($a_d \neq 0$),类似于(2)知 $a_d >0$.在式(1)中取 $n=10^k -1$.则\begin{equation}
S(P(n))=P(9 k)
\end{equation}注意到,$P(n)$ 以 $n^d$ 量级递增.则 $S(P(n))$ 以一个常数乘以 $k$ 的量级递增.又 $P(9k)$ 以 $k^d$ 的量级递增,由于 $d\geqslant 2$,故当 $k$ 足够大时,式(4)不可能成立.
综上,$P(x)=c$($1\leqslant c\leqslant 9$)或 $P(x)=x$
【解析】
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