一张 $n\times n$ 的方格表，称有公共边的方格是相邻的．
开始时每个方格中都写着 $+1$，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格，不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改变符号．
求所有的正整数 $n\geqslant 2$，使得可以经过有限次操作，将所有方格中的数都变为 $-1$．
开始时每个方格中都写着 $+1$，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格，不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改变符号．
求所有的正整数 $n\geqslant 2$，使得可以经过有限次操作，将所有方格中的数都变为 $-1$．
【难度】
【出处】
2012年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
所求结果为所有的偶数．
首先，记第 $i$ 行 $j$ 列方格为 $A_{ij}$，$i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$．
下面我们先证明：当 $n$ 为偶数时，可以将所有方格中的数都变为 $-1$．
当 $n=2k$，$k\in\mathbb{N}^{*}$ 时，我们将方格 $A_{ij}(i+j\equiv 0\pmod{2})$ 染成灰色，将方格 $A_{ij}(j-1\equiv 3\pmod{4}$ 且 $j-i\not\equiv j+i\pmod{4}$）染成黑色，
如图所示．
这样，与每一个黑色方格相邻的方格都是灰色的，与每一个灰色方格相邻的黑色方格都恰好只有一个．
现对所有的黑色方格均操作一次，则所有的灰色方格中的 $+1$ 均变为 $-1$，且其余方格中数字不变．
由于 $n$ 为偶数，故将表格关于中心 $O$ 作逆时针旋转 $90^{\circ}$ 的变换，
则所有被染成灰色的方格恰好覆盖未染色及被染成黑色的方格（参看下图）．
因此，对所有旋转后黑色方格所在位置再做一次操作，表格中剩余的 $+1$ 就都变为 $-1$ 了，而其余方格中数字不变．
所以，$n$ 为偶数时，表格中的数字可以都变为 $-1$．
然后，我们证明：当 $n$ 为奇数时，不可能将所有方格中的数都变为 $-1$．
当 $n$ 为奇数时，记主对角线上的方格依次为 $M_1 , M_2 ,\ldots ,M_n$，
与它们相邻的方格被选取作为操作中心的次数为 $x_1 , x_2 , \ldots,x_{n-1},y_1 , y_2 , \ldots,y_{n-1}$．
由于方格 $M_1$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_1 + y_1$ 是奇数；由于方格 $M_2$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_1 + y_1 + x_2 + y_2$ 是奇数；由于方格 $M_3$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_2 + y_2 + x_3 + y_3$ 是奇数；$\ldots$ 由于方格 $M_{n-1}$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_{n-2}+y_{n-2}+x_{n-1}+y_{n-1}$ 是奇数；由于方格 $M_n$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_{n-1}+y_{n-1}$ 是奇数．
上述奇数个奇数相加，总和为 $
2\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}+y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n-1}\right)
$ 是个偶数，矛盾!
故所求的答案为：$n$ 是偶数．
首先，记第 $i$ 行 $j$ 列方格为 $A_{ij}$，$i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$．
下面我们先证明：当 $n$ 为偶数时，可以将所有方格中的数都变为 $-1$．
当 $n=2k$，$k\in\mathbb{N}^{*}$ 时，我们将方格 $A_{ij}(i+j\equiv 0\pmod{2})$ 染成灰色，将方格 $A_{ij}(j-1\equiv 3\pmod{4}$ 且 $j-i\not\equiv j+i\pmod{4}$）染成黑色，
如图所示．
这样，与每一个黑色方格相邻的方格都是灰色的，与每一个灰色方格相邻的黑色方格都恰好只有一个．现对所有的黑色方格均操作一次，则所有的灰色方格中的 $+1$ 均变为 $-1$，且其余方格中数字不变．
由于 $n$ 为偶数，故将表格关于中心 $O$ 作逆时针旋转 $90^{\circ}$ 的变换，
则所有被染成灰色的方格恰好覆盖未染色及被染成黑色的方格（参看下图）．
因此，对所有旋转后黑色方格所在位置再做一次操作，表格中剩余的 $+1$ 就都变为 $-1$ 了，而其余方格中数字不变．所以，$n$ 为偶数时，表格中的数字可以都变为 $-1$．
然后，我们证明：当 $n$ 为奇数时，不可能将所有方格中的数都变为 $-1$．
当 $n$ 为奇数时，记主对角线上的方格依次为 $M_1 , M_2 ,\ldots ,M_n$，
与它们相邻的方格被选取作为操作中心的次数为 $x_1 , x_2 , \ldots,x_{n-1},y_1 , y_2 , \ldots,y_{n-1}$．
由于方格 $M_1$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_1 + y_1$ 是奇数；由于方格 $M_2$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_1 + y_1 + x_2 + y_2$ 是奇数；由于方格 $M_3$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_2 + y_2 + x_3 + y_3$ 是奇数；$\ldots$ 由于方格 $M_{n-1}$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_{n-2}+y_{n-2}+x_{n-1}+y_{n-1}$ 是奇数；由于方格 $M_n$ 由 $+1$ 变为 $-1$，被改变了奇数次，所以 $x_{n-1}+y_{n-1}$ 是奇数．上述奇数个奇数相加，总和为 $
2\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}+y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n-1}\right)
$ 是个偶数，矛盾!
故所求的答案为：$n$ 是偶数．
答案
解析
备注
