证明：在正 $2n-1$ 边形 $(n\geqslant 3)$ 的顶点中，任意取出 $n$ 个点，其中必有 $3$ 个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形．
【难度】
【出处】
2012年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先考虑 $n>4$ 的情形．
假设可取正 $2n-1$ 边形 $A_1 A_2 A_3 \ldots·A_{2n-1}$ 的 $n$ 个顶点，使得不存在三个顶点构成等腰三角形．
我们将取出的 $n$ 个顶点染成红色，未取出的 $n-1$ 个顶点染成蓝色．
不妨设 $A_1$ 为红点．
将除 $A_1$ 外的 $2n-2$ 个顶点分成 $n-1$ 组：$
\left(A_{2}, A_{2n-1}\right),\left(A_{3}, A_{2n-2}\right), \ldots,\left(A_{n}, A_{n+1}\right)
$
由于每一组的两个点都和 $A_1$ 构成等腰三角形，所以不能都是红点，而一共恰有 $n$ 个红点，因此每一组中的两个点都是一个红点和一个蓝点．
不妨设 $A_2$ 为红点，$A_{2n-1}$ 为蓝点．由 $\triangle A_1 A_2 A_3$ 是等腰三鱼形，故 $A_3$ 是蓝点，从而 $A_{2n-2}$ 是红点．再由 $\triangle A_{2n-2}A_2 A_5 , \triangle A_{2n-4}A_{2n-2}A_1$ 都是等腰三角形可知 $A_5 , A_{2n-4}$ 都是蓝点，而 $A_5 , A_{2n-4}$ 是同一组，只能一红一蓝．矛盾!因此，当 $n>4$ 时，结论成立．
对于正五边形和正七边形的情形（即 $n=3,4$ 的情形），直接讨论即可知结论成立．
综上可知，命题成立．
假设可取正 $2n-1$ 边形 $A_1 A_2 A_3 \ldots·A_{2n-1}$ 的 $n$ 个顶点，使得不存在三个顶点构成等腰三角形．
我们将取出的 $n$ 个顶点染成红色，未取出的 $n-1$ 个顶点染成蓝色．
不妨设 $A_1$ 为红点．
将除 $A_1$ 外的 $2n-2$ 个顶点分成 $n-1$ 组：$
\left(A_{2}, A_{2n-1}\right),\left(A_{3}, A_{2n-2}\right), \ldots,\left(A_{n}, A_{n+1}\right)
$
由于每一组的两个点都和 $A_1$ 构成等腰三角形，所以不能都是红点，而一共恰有 $n$ 个红点，因此每一组中的两个点都是一个红点和一个蓝点．
不妨设 $A_2$ 为红点，$A_{2n-1}$ 为蓝点．由 $\triangle A_1 A_2 A_3$ 是等腰三鱼形，故 $A_3$ 是蓝点，从而 $A_{2n-2}$ 是红点．再由 $\triangle A_{2n-2}A_2 A_5 , \triangle A_{2n-4}A_{2n-2}A_1$ 都是等腰三角形可知 $A_5 , A_{2n-4}$ 都是蓝点，而 $A_5 , A_{2n-4}$ 是同一组，只能一红一蓝．矛盾!因此，当 $n>4$ 时，结论成立．对于正五边形和正七边形的情形（即 $n=3,4$ 的情形），直接讨论即可知结论成立．
综上可知，命题成立．
答案
解析
备注
