已知 $A_1 , B_1 , C_1$ 分别为锐角 $\triangle ABC$ 的边 $BC,CA,AB$ 上的点，且 $AA_1 , BB_1 , CC_1$ 分别为 $\angle BAC,\angle CBA,\angle ACB$ 的平分线，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，$H$ 为 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 的垂心．证明：$$AH+BH+CH\geqslant AI+BI+CI$$
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
不妨设 $\alpha=\angle B A C \leqslant \beta=\angle C B A \leqslant \gamma=\angle A C B$．
记 $\triangle ABC$ 的边 $BC,CA,AB$ 的长分别为 $a,b,c$，$DE$ 为边 $BC$ 上的点，使得 $B_1 D \parallel AB$，$B_1 E$ 平分 $\angle BB_1 C$．由 $\angle B_1 DB=180^{\circ}-\beta$ 为钝角，则 $BB_1 >B_1 D$，$\Rightarrow \frac{B E}{E C}=\frac{B B_{1}}{B_{1} C}>\frac{D B_{1}}{B_{1} C}=\frac{A B}{A C}=\frac{B A_{1}}{A_{1} C}$ $\Rightarrow B E>B A_{1}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} \angle B B_{1} C=\angle B B_{1} E>\angle B B_{1} A_{1}$．类似地，$\frac{1}{2} \angle B B_{1} A>\angle B B_{1} C_{1}$，故 $\angle A_{1} B_{1} C_{1}=\angle B B_{1} A_{1}+\angle B B_{1} C_{1}<\frac{1}{2}\left(\angle B B_{1} C+\angle B B_{1} A\right)=90^{\circ}$，即 $\angle A_1 B_1 C_1$ 为锐角．
由对称性，知 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 为锐角三角形．设 $BB_1$ 与 $A_1 C_1$ 交于点 $F$．由 $\alpha \leqslant \gamma$，知 $a\leqslant c$．这表明，$B A_{1}=\frac{c a}{b+c} \leqslant \frac{a c}{a+b}=B C_{1}$．于是，$\angle BC_1 A_1 \leqslant\angle BA_1 C_1$．由 $\angle B_1 FC_1 =\angle BFA_1 \leqslant 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ 点 $H,C_1$ 在 $BB_1$ 的同侧．从而，证明了点 $H$ 在 $\triangle BB_1 C_1$ 的内部．
类似地，由 $\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma$，知点 $H$ 也在 $\triangle CC_1 B_1$ 和 $\triangle AA_1 C_1$ 的内部．由 $\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma$，于是，$\alpha\leqslant 60^{\circ}\leqslant \gamma$．从而，$\angle BIC\leqslant 120^{\circ}\leqslant \angle AIB$．若 $\angle AIC\geqslant 120^{\circ}$，设以 $A$ 为旋转中心，旋转角为 $-60^{\circ}$ 的旋转变换将点 $B,I,H$ 变为点 $B',I',H'$，如图．则点 $B',C$ 在 $AB$ 的异侧．
由于 $\triangle AI'I$ 为正三角形，于是，\begin{equation}
AI+BI+CI=II'+B'I'+IC=B'I'+I'I+IC
\end{equation}类似地，\begin{equation}
AH+BH+CH=HH'+B'H'+HC=B'H'+H'H+HC
\end{equation}由 $\angle AII'=\angle AI'I=60^{\circ}$，$\angle AI'B'=\angle AIB\geqslant 120^{\circ}$，且 $\angle AIC\geqslant 120^{\circ}$，则四边形 $B'I'IC$ 为非凹四边形，且与点 $A$ 均在 $B'C$ 的同侧．
因为点 $H$ 在 $\triangle ACC_1$ 的内部，即在四边形 $B'I'IC$ 的外部，且 $H$ 也在 $\triangle ABI$ 的内部，所以，点 $H'$ 在 $\triangle AB'I'$ 的内部．
这表明，点 $H'$ 在四边形 $B'T'IC$ 的外部．故四边形 $B'I'IC$ 在四边形 $B'H'HC$ 内．由式（1），（2）知$$AH+BH+CH\geqslant AI+BI+CI$$若 $\angle AIC\leqslant 120^{\circ}$，设以 $C$ 为旋转中心，旋转角为 $60^{\circ}$ 的旋转变换将点 $B,I,H$ 变为点 $B',I',H'$．则点 $B',A$ 在 $BC$ 的异侧，与 $\angle AIC\geqslant 120^{\circ}$ 的情况类似可得$$AH+BH+CH\geqslant AI+BI+CI$$
记 $\triangle ABC$ 的边 $BC,CA,AB$ 的长分别为 $a,b,c$，$DE$ 为边 $BC$ 上的点，使得 $B_1 D \parallel AB$，$B_1 E$ 平分 $\angle BB_1 C$．由 $\angle B_1 DB=180^{\circ}-\beta$ 为钝角，则 $BB_1 >B_1 D$，$\Rightarrow \frac{B E}{E C}=\frac{B B_{1}}{B_{1} C}>\frac{D B_{1}}{B_{1} C}=\frac{A B}{A C}=\frac{B A_{1}}{A_{1} C}$ $\Rightarrow B E>B A_{1}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} \angle B B_{1} C=\angle B B_{1} E>\angle B B_{1} A_{1}$．类似地，$\frac{1}{2} \angle B B_{1} A>\angle B B_{1} C_{1}$，故 $\angle A_{1} B_{1} C_{1}=\angle B B_{1} A_{1}+\angle B B_{1} C_{1}<\frac{1}{2}\left(\angle B B_{1} C+\angle B B_{1} A\right)=90^{\circ}$，即 $\angle A_1 B_1 C_1$ 为锐角．
由对称性，知 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 为锐角三角形．设 $BB_1$ 与 $A_1 C_1$ 交于点 $F$．由 $\alpha \leqslant \gamma$，知 $a\leqslant c$．这表明，$B A_{1}=\frac{c a}{b+c} \leqslant \frac{a c}{a+b}=B C_{1}$．于是，$\angle BC_1 A_1 \leqslant\angle BA_1 C_1$．由 $\angle B_1 FC_1 =\angle BFA_1 \leqslant 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ 点 $H,C_1$ 在 $BB_1$ 的同侧．从而，证明了点 $H$ 在 $\triangle BB_1 C_1$ 的内部．
类似地，由 $\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma$，知点 $H$ 也在 $\triangle CC_1 B_1$ 和 $\triangle AA_1 C_1$ 的内部．由 $\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma$，于是，$\alpha\leqslant 60^{\circ}\leqslant \gamma$．从而，$\angle BIC\leqslant 120^{\circ}\leqslant \angle AIB$．若 $\angle AIC\geqslant 120^{\circ}$，设以 $A$ 为旋转中心，旋转角为 $-60^{\circ}$ 的旋转变换将点 $B,I,H$ 变为点 $B',I',H'$，如图．则点 $B',C$ 在 $AB$ 的异侧．
由于 $\triangle AI'I$ 为正三角形，于是，\begin{equation}AI+BI+CI=II'+B'I'+IC=B'I'+I'I+IC
\end{equation}类似地，\begin{equation}
AH+BH+CH=HH'+B'H'+HC=B'H'+H'H+HC
\end{equation}由 $\angle AII'=\angle AI'I=60^{\circ}$，$\angle AI'B'=\angle AIB\geqslant 120^{\circ}$，且 $\angle AIC\geqslant 120^{\circ}$，则四边形 $B'I'IC$ 为非凹四边形，且与点 $A$ 均在 $B'C$ 的同侧．
因为点 $H$ 在 $\triangle ACC_1$ 的内部，即在四边形 $B'I'IC$ 的外部，且 $H$ 也在 $\triangle ABI$ 的内部，所以，点 $H'$ 在 $\triangle AB'I'$ 的内部．
这表明，点 $H'$ 在四边形 $B'T'IC$ 的外部．故四边形 $B'I'IC$ 在四边形 $B'H'HC$ 内．由式（1），（2）知$$AH+BH+CH\geqslant AI+BI+CI$$若 $\angle AIC\leqslant 120^{\circ}$，设以 $C$ 为旋转中心，旋转角为 $60^{\circ}$ 的旋转变换将点 $B,I,H$ 变为点 $B',I',H'$．则点 $B',A$ 在 $BC$ 的异侧，与 $\angle AIC\geqslant 120^{\circ}$ 的情况类似可得$$AH+BH+CH\geqslant AI+BI+CI$$
【解析】
略
答案
解析
备注
