求所有的质数 $p$，使得存在无穷多个正整数 $n$，满足 $p|n^{n+1}+(n+1)^{n}$．
【难度】
【出处】
2012年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
结论是 $p$ 为奇质数．
当 $p=2$ 时，对任意正整数 $n$，有 $n^{n+1}+(n+1)^{n}$ 是奇数，
所以 $p=2$ 不满足条件．
考虑 $p\geqslant 3$ 的情形，我们证明：满足条件的 $n$ 有无穷多个．
证法一
为了使得 $(n+1)^n$ 除以 $p$ 的余数确定，取 $n=pk-2$，且为奇数，则
$\begin{aligned} n^{n+1}+(n+1)^{n} & \equiv(-2)^{p k-1}+(-1)^{p k-2} \equiv 2^{p k-1}-1 \equiv\left(2^{p-1}\right)^{k} \cdot 2^{k-1}-1 \equiv 2^{k-1}-1(\bmod p) \end{aligned}$
此时只需再取 $k-1=(p-1)t$ 即可，于是 $n=p(p-1)t十p-2$ 都满足条件．
证法二
当 $p\geqslant 3$ 时，$(2,p)=1$，由费马小定理知 $2^{p-1}\equiv 1(\bmod p)$．
取 $n=p^{t}-2$，其中 $t=1,2,3,\ldots$，则
$\begin{aligned}
n^{n+1}+(n+1)^{n} &\equiv(-2)^{p^{t}-1}+(-1)^{p^{t}-2}
\equiv 2^{p^{t}-1}-1\equiv\left(2^{p-1}\right)^{p^{t-1}+p^{t-2}+\ldots+p+1}-1\equiv 1-1\equiv 0\pmod{p}
\end{aligned}$
所以，结论成立．
当 $p=2$ 时，对任意正整数 $n$，有 $n^{n+1}+(n+1)^{n}$ 是奇数，
所以 $p=2$ 不满足条件．
考虑 $p\geqslant 3$ 的情形，我们证明：满足条件的 $n$ 有无穷多个．
证法一
为了使得 $(n+1)^n$ 除以 $p$ 的余数确定，取 $n=pk-2$，且为奇数，则
$\begin{aligned} n^{n+1}+(n+1)^{n} & \equiv(-2)^{p k-1}+(-1)^{p k-2} \equiv 2^{p k-1}-1 \equiv\left(2^{p-1}\right)^{k} \cdot 2^{k-1}-1 \equiv 2^{k-1}-1(\bmod p) \end{aligned}$
此时只需再取 $k-1=(p-1)t$ 即可，于是 $n=p(p-1)t十p-2$ 都满足条件．
证法二
当 $p\geqslant 3$ 时，$(2,p)=1$，由费马小定理知 $2^{p-1}\equiv 1(\bmod p)$．
取 $n=p^{t}-2$，其中 $t=1,2,3,\ldots$，则
$\begin{aligned}
n^{n+1}+(n+1)^{n} &\equiv(-2)^{p^{t}-1}+(-1)^{p^{t}-2}
\equiv 2^{p^{t}-1}-1\equiv\left(2^{p-1}\right)^{p^{t-1}+p^{t-2}+\ldots+p+1}-1\equiv 1-1\equiv 0\pmod{p}
\end{aligned}$
所以，结论成立．
答案
解析
备注
