设实数 $a,b,c,d$ 满足 $abcd>a^2+b^2+c^2+d^2$．证明：$abcd>a+b+c+d+8$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $abcd>a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}$，可得 $\sqrt[4]{abcd}>2$．
假设 $abcd\leqslant a+b+c+d+8$，则 $a^2+b^2+c^2+d^2<a+b+c+d+8$，
即 $\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(d-\dfrac{1}{d}\right)^2<9$．
假设 $abcd\leqslant a+b+c+d+8$，则 $a^2+b^2+c^2+d^2<a+b+c+d+8$，
即 $\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(d-\dfrac{1}{d}\right)^2<9$．
答案
解析
备注
