已知正整数 $n$ 与 $6$ 互素．用三种颜色染一个正 $n$ 边形的顶点，使得每种颜色均有奇数个顶点．证明：存在一个等腰三角形，其三个顶点的颜色互不相同．
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
对于 $k=1,2,3$，设 $a_k$ 为顶点恰包含 $k$ 种颜色的等腰三角形的个数．
若结论不成立，则 $a_3 =0$．设三种不同颜色顶点的个数分别为 $b,c,d$．下面计算 $(\triangle ,E)$ 的个数，其中，$\triangle$ 表示一个等腰三角形，$E$ 为 $\triangle$ 0的一条边，且其两个端点不同色．
一方面，由于 $a_3 =0$，于是，$(\triangle ,E)$ 中的每个三角形恰包含两种颜色．每个这样的三角形有两条端点异色的边．从而，$(\triangle ,E)$ 的个数为 $2a_2$．
另一方面，若任选两个不同色的顶点 $A,B$．则包含顶点 $A,B$ 的等腰三角形有三个，其中的两个等腰三角形的底均不为 $AB$，一个等腰三角形的底为 $AB$（这是因为 $n$ 是奇数）．由于 $(n,3)=1$，则这三个等腰三角形互不相同．于是，每条这样的边 $AB$ 均被计算了三次．从而，$(\triangle ,E)$ 的个数为 $3(bc+cd+db)$．注意到，$b,c,d$ 均为奇数，则 $3(bc+cd+db)$ 为奇数，与 $2a_2$ 为偶数矛盾．因此，$a_3 \geqslant 1$
若结论不成立，则 $a_3 =0$．设三种不同颜色顶点的个数分别为 $b,c,d$．下面计算 $(\triangle ,E)$ 的个数，其中，$\triangle$ 表示一个等腰三角形，$E$ 为 $\triangle$ 0的一条边，且其两个端点不同色．
一方面，由于 $a_3 =0$，于是，$(\triangle ,E)$ 中的每个三角形恰包含两种颜色．每个这样的三角形有两条端点异色的边．从而，$(\triangle ,E)$ 的个数为 $2a_2$．
另一方面，若任选两个不同色的顶点 $A,B$．则包含顶点 $A,B$ 的等腰三角形有三个，其中的两个等腰三角形的底均不为 $AB$，一个等腰三角形的底为 $AB$（这是因为 $n$ 是奇数）．由于 $(n,3)=1$，则这三个等腰三角形互不相同．于是，每条这样的边 $AB$ 均被计算了三次．从而，$(\triangle ,E)$ 的个数为 $3(bc+cd+db)$．注意到，$b,c,d$ 均为奇数，则 $3(bc+cd+db)$ 为奇数，与 $2a_2$ 为偶数矛盾．因此，$a_3 \geqslant 1$
【解析】
略
答案
解析
备注
