证明：存在无穷多个正整数组 $(a, b, c)$，满足 $a、b、c$ 两两互质，且 $ab+c,bc+a,ca+b$ 两两互质．
【难度】
【出处】
2016年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
取正整数 $k$ 满足 $k-1$ 不是 $5$ 的倍数．下证正整数组 $(2k-1, 2k, 2k+1)$ 满足题中要求．
事实上，显然 $2k-1、2k、2k+1$ 两两互质．
$(2 k-1) 2 k+(2 k+1)=4 k^{2}+1$
$2 k(2 k+1)+(2 k-1)=4 k^{2}+4 k-1$
$(2 k+1)(2 k-1)+2 k=4 k^{2}+2 k-1$
因为 $4k^2 + 1$ 是奇数，所以 $\begin{aligned}\left(4 k^{2}+1,4 k^{2}+4 k-1\right) &=\left(4 k^{2}+1,4 k-2\right)=\left(4 k^{2}+1,2 k-1\right) =(2,2 k-1)=1 \end{aligned}$．
又 $k-1$ 不是 $5$ 的倍数，所以 $\begin{aligned}\left(4 k^{2}+1,4 k^{2}+2 k-1\right) &=\left(4 k^{2}+1,2 k-2\right)=\left(4 k^{2}+1, k-1\right) =(5, k-1)=1 \end{aligned}$．
最后，$\left(4 k^{2}+4 k-1,4 k^{2}+2 k-1\right)=\left(4 k^{2}+4 k-1,2 k\right)=1$．
从而 $(2 k-1,2 k, 2 k+1)$ 的确满足题中要求，故满足题中要求的正整数组有无穷多个．
事实上，显然 $2k-1、2k、2k+1$ 两两互质．
$(2 k-1) 2 k+(2 k+1)=4 k^{2}+1$
$2 k(2 k+1)+(2 k-1)=4 k^{2}+4 k-1$
$(2 k+1)(2 k-1)+2 k=4 k^{2}+2 k-1$
因为 $4k^2 + 1$ 是奇数，所以 $\begin{aligned}\left(4 k^{2}+1,4 k^{2}+4 k-1\right) &=\left(4 k^{2}+1,4 k-2\right)=\left(4 k^{2}+1,2 k-1\right) =(2,2 k-1)=1 \end{aligned}$．
又 $k-1$ 不是 $5$ 的倍数，所以 $\begin{aligned}\left(4 k^{2}+1,4 k^{2}+2 k-1\right) &=\left(4 k^{2}+1,2 k-2\right)=\left(4 k^{2}+1, k-1\right) =(5, k-1)=1 \end{aligned}$．
最后，$\left(4 k^{2}+4 k-1,4 k^{2}+2 k-1\right)=\left(4 k^{2}+4 k-1,2 k\right)=1$．
从而 $(2 k-1,2 k, 2 k+1)$ 的确满足题中要求，故满足题中要求的正整数组有无穷多个．
答案
解析
备注
