给定正整数 $n、k,k\leqslant n-2$．设实数集 $\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}$ 的任意 $k$ 元子集的元素和的绝对值不超过 $1$．证明：若 $\left|a_{1}\right| \geqslant 1$，则对任意的 $ 2\leqslant i\leqslant n$，有 $\left|a_{1}\right|+\left|a_{i}\right| \leqslant 2$．
【难度】
【出处】
2016年中国西部数学邀请赛试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a_1\geqslant 1$，此时要证结论成立，只需证明对任意 $2 \leqslant j \leqslant n$，有 $a_{j} \geqslant a_{1}-2$ 且 $a_{j} \leqslant 2-a_{1}$．记 $[n]=\{1,2, \cdots, n\}$．
先证 $a_{j} \geqslant a_{1}-2$．
设 $2 \leqslant j \leqslant n$，取 $[n]$ 的两个 $k$ 元子集 $I、J$，使得 $I \backslash J=\{1\}, J \backslash I=\{j\}$．
由条件知 $\displaystyle \sum\limits_{s \in I} a_{s} \leqslant 1, \sum_{s \in J} a_{s} \geqslant-1$．
将这两个不等式作差可得 $a_1-a_j\leqslant 2$，即 $a_j\geqslant a_1—2$．
再证 $a_{j} \leqslant 2-a_{1}$．
记 $S=\left\{i \in[n] | a_{i}>0\right\}$．则 $1\in S$，假设 $|S|\geqslant k$，取 $S$ 的一个 $k$ 元子集 $I$，使得 $1\in I$，由条件知 $\displaystyle 0<\sum\limits_{s \in I\backslash \{1 \}} a_{s} \leqslant 1-a_{1} \leqslant 0$，
矛盾！故 $|S|\leqslant k-1$．因此 $|[n] \backslash(S \cup\{j\})| \geqslant n-k \geqslant 2$．
这样存在 $i^{\prime} \neq j^{\prime} \in[n] \backslash\{1, j\}$ 使得 $a_{i^\prime} \leqslant 0, a_{j^\prime} \leqslant 0$．现选取 $[n]$ 的两个 $k$ 元子集 $I$ 和 $I^\prime$ 使得 $I \backslash I^{\prime}=\{1, j\}, I^{\prime} \backslash I=\left\langle i^{\prime}, j^{\prime}\right\}$．由条件知 $\displaystyle \sum\limits_{s \in I} a_{s} \leqslant 1, \sum_{s \in I^\prime} a_{s} \geqslant-1$．
将两个不等式相减可得 $a_{j}+a_{1}-a_{i^{\prime}}-a_{j^{\prime}} \leqslant 2$．
故 $a_{j} \leqslant 2-a_{1}+a_{i^\prime}+a_{j^\prime} \leqslant 2-a_{1}$．证毕．
先证 $a_{j} \geqslant a_{1}-2$．
设 $2 \leqslant j \leqslant n$，取 $[n]$ 的两个 $k$ 元子集 $I、J$，使得 $I \backslash J=\{1\}, J \backslash I=\{j\}$．
由条件知 $\displaystyle \sum\limits_{s \in I} a_{s} \leqslant 1, \sum_{s \in J} a_{s} \geqslant-1$．
将这两个不等式作差可得 $a_1-a_j\leqslant 2$，即 $a_j\geqslant a_1—2$．
再证 $a_{j} \leqslant 2-a_{1}$．
记 $S=\left\{i \in[n] | a_{i}>0\right\}$．则 $1\in S$，假设 $|S|\geqslant k$，取 $S$ 的一个 $k$ 元子集 $I$，使得 $1\in I$，由条件知 $\displaystyle 0<\sum\limits_{s \in I\backslash \{1 \}} a_{s} \leqslant 1-a_{1} \leqslant 0$，
矛盾！故 $|S|\leqslant k-1$．因此 $|[n] \backslash(S \cup\{j\})| \geqslant n-k \geqslant 2$．
这样存在 $i^{\prime} \neq j^{\prime} \in[n] \backslash\{1, j\}$ 使得 $a_{i^\prime} \leqslant 0, a_{j^\prime} \leqslant 0$．现选取 $[n]$ 的两个 $k$ 元子集 $I$ 和 $I^\prime$ 使得 $I \backslash I^{\prime}=\{1, j\}, I^{\prime} \backslash I=\left\langle i^{\prime}, j^{\prime}\right\}$．由条件知 $\displaystyle \sum\limits_{s \in I} a_{s} \leqslant 1, \sum_{s \in I^\prime} a_{s} \geqslant-1$．
将两个不等式相减可得 $a_{j}+a_{1}-a_{i^{\prime}}-a_{j^{\prime}} \leqslant 2$．
故 $a_{j} \leqslant 2-a_{1}+a_{i^\prime}+a_{j^\prime} \leqslant 2-a_{1}$．证毕．
答案
解析
备注
