$n(n \geqslant 4)$ 个盘子里放有总数不少于 $4$ 的糖块，从任选的两个盘子中各取一块糖，放入另一个盘子中去，称为一次操作问能否经过有限次操作，把所有糖块集中到一个盘子里去？证明你的结论．
【难度】
【出处】
1994第9届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
能经过有限次操作，把所有糖块集中到一个盘子里去，对糖块总数 $m(m \geqslant 4)$ 进行归纳．当 $m=4$ 时，盛有糖块的盘子不多于 $4$ 个．去掉 $n-4$ 个空盘，在剩下 $4$ 个盘子里，糖块分布有以下 $4$ 种情况要考虑：
$\begin{array}{ll}{\text { (1) }(1,1,1,1)} & {\text { (2) }(1,2,1,0)} \\ {\text { (3) }(2,2,0,0)} & {\text { (4) }(1,3,0,0)}\end{array}$
对于第一种情况，可进行如下几次操作，使糖块集中到一个盘子里：$(1,1,1,1) \rightarrow(3,1,0,0) \rightarrow(2,0,2,0) \rightarrow(1,0,1,2) \rightarrow(0,0,0,4)$
从上述操作可以看到：对于第二，三，四种情况，糖块亦能集中到一个盘子里．
假设当 $m=k(k \geqslant 4)$ 时，所有糖块能集中到一个盘子里．当 $m=k+1(k \geqslant 4)$ 时，在盛糖块的一个盘子里固定一块糖，暂不去考虑它．对于剩下的 $k(k \geqslant 4)$ 块糖，利用数学归纳法，可知这 $k$ 块糖是能够集中到一个盘子里的．如果这个盘子恰是盛有固定糖块的盘子，则结论已经成立．否则，恰有两个盘子盛有糖块，一个盘子里只有一块糖，另一个盘子里有 $k$ 块糖．再取两个空盘，进行如下的操作：$(1, k, 0,0) \rightarrow(0, k-1,2,0) \rightarrow(0, k-2,1,2) \rightarrow(2, k-3,0,2) \rightarrow(1, k-1,0,1) \rightarrow(0, k+1,0,0)$ 所有糖块在一个盘子里了．结论成立．
$\begin{array}{ll}{\text { (1) }(1,1,1,1)} & {\text { (2) }(1,2,1,0)} \\ {\text { (3) }(2,2,0,0)} & {\text { (4) }(1,3,0,0)}\end{array}$
对于第一种情况，可进行如下几次操作，使糖块集中到一个盘子里：$(1,1,1,1) \rightarrow(3,1,0,0) \rightarrow(2,0,2,0) \rightarrow(1,0,1,2) \rightarrow(0,0,0,4)$
从上述操作可以看到：对于第二，三，四种情况，糖块亦能集中到一个盘子里．
假设当 $m=k(k \geqslant 4)$ 时，所有糖块能集中到一个盘子里．当 $m=k+1(k \geqslant 4)$ 时，在盛糖块的一个盘子里固定一块糖，暂不去考虑它．对于剩下的 $k(k \geqslant 4)$ 块糖，利用数学归纳法，可知这 $k$ 块糖是能够集中到一个盘子里的．如果这个盘子恰是盛有固定糖块的盘子，则结论已经成立．否则，恰有两个盘子盛有糖块，一个盘子里只有一块糖，另一个盘子里有 $k$ 块糖．再取两个空盘，进行如下的操作：$(1, k, 0,0) \rightarrow(0, k-1,2,0) \rightarrow(0, k-2,1,2) \rightarrow(2, k-3,0,2) \rightarrow(1, k-1,0,1) \rightarrow(0, k+1,0,0)$ 所有糖块在一个盘子里了．结论成立．
答案
解析
备注
