设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{10}$ 是 $10$ 个两两不同的自然数，它们的和为 $1995$，试求 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{9} a_{10}+a_{10} a_{1}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
1995第10届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{10} a_{i}=1995$ 及 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{10}$ 为自然数，故所述最小值存在．设 $S=a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{10} a_{1}$ 已为最小值，不妨设 $a_1,a_{2}, \cdots, a_{10}$ 中 $a_1$ 最大．
$a_{2}+a_{10}$ 应不大于 $a_{k-1}+a_{k+1}$（$k=3,4, \cdots, 9$，约定 $a_{11}=a_{1}$），否则将 $a_1$ 与 $a_k$ 交换，由于 $a_{1}\left(a_{2}+a_{10}\right)+a_{k}\left(a_{k-1}+a_{k+1}\right)>a_{k}\left(a_{2}+a_{10}\right)+a_{1}\left(a_{k-1}+a_{k+1}\right)$ $S=a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{10} a_{1}$ 经调整后更小．
若 $\left\{a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{10}\right\} \neq\{1,2, \cdots, 9\}$，则必有某个 $a_{k}>j, k \in\{2,3, \cdots, 10\}, j \in\{1,2, \cdots, 9\}$，而 $a_{k} \notin\{1,2, \cdots, 9\}, j \notin\left\{a_{2},a_{3}, \cdots, a_{10} \right\}$．
在 $k \neq 2,10$ 时，将 $a_k$ 改为 $j$，$a_1$ 改为 $a_{1}+a_{k}-j$．由于 $\left(a_{1}+a_{k}-j\right)\left(a_{2}+a_{10}\right)+j\left(a_{k-1}+a_{k+1}\right)<a_{1}\left(a_{2}+a_{10}\right)+a_{k}\left(a_{k-1}+a_{k+1}\right)$．$S$ 经调整后更小．因此在 $S$ 已最小时，$a_{3}, a_{4}, \cdots, a_{9} \in\{1,2, \cdots,9\}$．又由于 $a_{2}+a_{10}<a_{2}+a_{4}$ 及 $a_{2}+a_{10}<a_{8}+a_{10}$，故 $a_{2}<a_{8},a_{10}<a_{4}$ 故 $\left\{a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{10}\right\}=\{1,2, \cdots, 9\}$ 从而 $a_{1}=1995-\sum_{i=2}^{10} i=1995-45=1950$
这样，由 $S$ 的最小性，必有 $a_{2}+a_{10}=1+2$ 不妨设 $a_{2}=1, a_{10}=2$，则
$S=3 \times 1950+a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+\cdots+a_{7} a_{8}+a_{8} a_{9}+2 a_{9}$ 则 $2 a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+\cdots+a_{7} a_{8}+a_{8} a_{9}+2 a_{9}-a_{3}\\=-\frac{1}{2}\left(\left(2-a_{3}\right)^{2}+\left(a_{3}-a_{4}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{9}-2\right)^{2}\right]+2^{2}+3^{2}+\cdots+9^{2}-a_{3} \\\geqslant-\frac{1}{2}\left((2-9)^{2}+(9-3)^{2}+(8-2)^{2}+(8-4)^{2}+(7-3)^{2}+(7-5)^{2}+(6-4)^{2}+(6-5)^{2}\right )+2^{2}+3^{2}+\cdots+9^{2}-9\\=9 \times(1+3)+8 \times(2+4)+7 \times(3+5)+6 \times(4+5)$
于是，在 $a_{1}=1950, a_{2}=1, a_{10}=2, a_{3}=9, a_{4}=3, a_{9}=8,a_{5}=7,a_{8}=4,a_{6}=5,a_{7}=6$ 时，$S$ 取得最小值 $3 \times 1950+9 \times(1+3)+8 \times(2+4)+7 \times(3+5)+6 \times(4+5)=6044$
$a_{2}+a_{10}$ 应不大于 $a_{k-1}+a_{k+1}$（$k=3,4, \cdots, 9$，约定 $a_{11}=a_{1}$），否则将 $a_1$ 与 $a_k$ 交换，由于 $a_{1}\left(a_{2}+a_{10}\right)+a_{k}\left(a_{k-1}+a_{k+1}\right)>a_{k}\left(a_{2}+a_{10}\right)+a_{1}\left(a_{k-1}+a_{k+1}\right)$ $S=a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{10} a_{1}$ 经调整后更小．
若 $\left\{a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{10}\right\} \neq\{1,2, \cdots, 9\}$，则必有某个 $a_{k}>j, k \in\{2,3, \cdots, 10\}, j \in\{1,2, \cdots, 9\}$，而 $a_{k} \notin\{1,2, \cdots, 9\}, j \notin\left\{a_{2},a_{3}, \cdots, a_{10} \right\}$．
在 $k \neq 2,10$ 时，将 $a_k$ 改为 $j$，$a_1$ 改为 $a_{1}+a_{k}-j$．由于 $\left(a_{1}+a_{k}-j\right)\left(a_{2}+a_{10}\right)+j\left(a_{k-1}+a_{k+1}\right)<a_{1}\left(a_{2}+a_{10}\right)+a_{k}\left(a_{k-1}+a_{k+1}\right)$．$S$ 经调整后更小．因此在 $S$ 已最小时，$a_{3}, a_{4}, \cdots, a_{9} \in\{1,2, \cdots,9\}$．又由于 $a_{2}+a_{10}<a_{2}+a_{4}$ 及 $a_{2}+a_{10}<a_{8}+a_{10}$，故 $a_{2}<a_{8},a_{10}<a_{4}$ 故 $\left\{a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{10}\right\}=\{1,2, \cdots, 9\}$ 从而 $a_{1}=1995-\sum_{i=2}^{10} i=1995-45=1950$
这样，由 $S$ 的最小性，必有 $a_{2}+a_{10}=1+2$ 不妨设 $a_{2}=1, a_{10}=2$，则
$S=3 \times 1950+a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+\cdots+a_{7} a_{8}+a_{8} a_{9}+2 a_{9}$ 则 $2 a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+\cdots+a_{7} a_{8}+a_{8} a_{9}+2 a_{9}-a_{3}\\=-\frac{1}{2}\left(\left(2-a_{3}\right)^{2}+\left(a_{3}-a_{4}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{9}-2\right)^{2}\right]+2^{2}+3^{2}+\cdots+9^{2}-a_{3} \\\geqslant-\frac{1}{2}\left((2-9)^{2}+(9-3)^{2}+(8-2)^{2}+(8-4)^{2}+(7-3)^{2}+(7-5)^{2}+(6-4)^{2}+(6-5)^{2}\right )+2^{2}+3^{2}+\cdots+9^{2}-9\\=9 \times(1+3)+8 \times(2+4)+7 \times(3+5)+6 \times(4+5)$
于是，在 $a_{1}=1950, a_{2}=1, a_{10}=2, a_{3}=9, a_{4}=3, a_{9}=8,a_{5}=7,a_{8}=4,a_{6}=5,a_{7}=6$ 时，$S$ 取得最小值 $3 \times 1950+9 \times(1+3)+8 \times(2+4)+7 \times(3+5)+6 \times(4+5)=6044$
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解析
备注
