已知 $f(z)=C_{0} z^{n}+C_{1} z^{n-1}+C_{2} z^{n-2}+\cdots+C_{n-1} z+C_{n}$ 是一个 $n$ 次复系数多项式．求证：一定存在一个复数 $z_0,\left|z_{0}\right| \leqslant 1$，并且满足 $\left|f\left(z_{0}\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$．
【难度】
【出处】
1994第9届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $\omega=\cos \dfrac{2 \pi}{n}+i \sin \dfrac{2 \pi}{n}$ 取 $\eta$ 是一个模长为 $1$ 的复数．如果 $n\geqslant 2$，对于正整数 $k=1,2, \cdots,n-1$，有 $f\left(\omega^{k} \eta\right)=C_{0}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n}+C_{1}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n-1}+C_{2}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n-2}+\cdots+C_{n-1}\left(\omega^{k} \eta\right)+C_{n}$ ①
上式关于 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 求和，有
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} f\left(\omega^{k} \eta\right)=& C_{0} \sum_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n}+C_{1} \sum_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n-1}+ C_{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n-2}+\cdots+C_{n-1} \sum_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)+n C_{n} \end{aligned}$ ②
显然有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n}=n \eta^{n}$ ③
对于 $j=1,2, \cdots, n-1$，利用几何级数求和公式，有
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{j}=\eta^{j} \sum_{k=1}^{n} \omega^{k j}=\eta^{j} \dfrac{\omega^{j}-\omega^{(n+1) j}}{1-\omega^{j}}=0$ ④
将 ③，④ 代入 ②，有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} f\left(\omega^{k} \eta\right)=n\left(C_{0} \eta^{n}+C_{n}\right)$ ⑤
对 $n = 1$ 时，式 ⑤ 也成立．因此，式 ⑤ 对 $\forall_{n} \in \mathbf{N}$ 成立．由 ⑤，即有
$\displaystyle \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n}\left|f\left(\omega^{k} \eta\right)\right| \geqslant \frac{1}{n}\left|\sum_{k=1}^{n} f\left(\omega^{k} \eta\right)\right|=1 C_{0} \eta^{n}+C_{n} 1$ ⑥
记 $C_{0}=\rho_{0}\left(\cos \theta_{0}+i \sin \theta_{0}\right)$，这里 $0 \leqslant \theta_{0}<2 \pi,\left|C_{0}\right|=\rho_{0};C_{n}=\rho_{n}\left(\cos \theta_{n}+i \sin \theta_{n}\right)$ 这里 $0 \leqslant \theta_{n}<2 \pi,\left|C_{n}\right|=\rho_{n}$．选择 $\theta, 0 \leqslant 0<2 \pi$，使得 $\theta_{0}+n \theta \equiv \theta_{n}(\bmod 2 \pi)$
例如：当 $\theta_{n} \geqslant \theta_{0}$ 时，取 $\theta=\dfrac{1}{n}\left(\theta_{n}-\theta_{0}\right)$
当 $\theta_{n}< \theta_{0}$ 时，取 $\theta=\dfrac{1}{n}\left(2 \pi+\theta_{n}-\theta_{0}\right)$ 就可以了，令 $\eta=\cos \theta+i \sin \theta$ ⑦
$C_{0} \eta^{n}+C_{n}=\rho_{0}\left(\cos \theta_{0}+i \sin \theta_{0}\right)(\cos n \theta+i \sin n \theta)+\rho_{n}\left(\cos \theta_{n}+i \sin \theta_{n}\right)=$
$\rho_{0}\left(\cos \left(\theta_{0}+n \theta\right)+i \sin \left(\theta_{0}+n \theta\right)\right)+\rho_{n}\left(\cos \theta_{n}+i \sin \theta_{n}\right)=\left(\rho_{0}+\rho_{n}\right)\left(\cos \theta_{n}+i \sin \theta_{n}\right) ⑧ $
从而，可以得到 $\left|C_{0} \eta^{n}+C_{n}\right|=\rho_{0}+\rho_{n}=\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ ⑨
将 ⑨ 代人 ⑥，有 $\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n}\left|f\left(\omega^{k} \eta\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ ⑩
由于 $n$ 个实数 $\left|f(\omega \eta)\right|,\left|f\left(\omega^{2} \eta\right)\right|, \cdots, | f\left(\omega^{n} \eta\right)$ 的算术平均值大于等于 $\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$，则至少有一个 $\left|f\left(\omega^{j} \eta\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ ⑪
这里 $j$ 是 $1,2, \cdots, n$ 中某一个正整数．令 $z_{0}=\omega^{j} \eta,\left|z_{0}\right|=1$，而且有
$\left|f\left(z_{0}\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ $\left|f\left(z_{0}\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ ⑫
上式关于 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 求和，有
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} f\left(\omega^{k} \eta\right)=& C_{0} \sum_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n}+C_{1} \sum_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n-1}+ C_{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n-2}+\cdots+C_{n-1} \sum_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)+n C_{n} \end{aligned}$ ②
显然有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{n}=n \eta^{n}$ ③
对于 $j=1,2, \cdots, n-1$，利用几何级数求和公式，有
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\omega^{k} \eta\right)^{j}=\eta^{j} \sum_{k=1}^{n} \omega^{k j}=\eta^{j} \dfrac{\omega^{j}-\omega^{(n+1) j}}{1-\omega^{j}}=0$ ④
将 ③，④ 代入 ②，有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} f\left(\omega^{k} \eta\right)=n\left(C_{0} \eta^{n}+C_{n}\right)$ ⑤
对 $n = 1$ 时，式 ⑤ 也成立．因此，式 ⑤ 对 $\forall_{n} \in \mathbf{N}$ 成立．由 ⑤，即有
$\displaystyle \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n}\left|f\left(\omega^{k} \eta\right)\right| \geqslant \frac{1}{n}\left|\sum_{k=1}^{n} f\left(\omega^{k} \eta\right)\right|=1 C_{0} \eta^{n}+C_{n} 1$ ⑥
记 $C_{0}=\rho_{0}\left(\cos \theta_{0}+i \sin \theta_{0}\right)$，这里 $0 \leqslant \theta_{0}<2 \pi,\left|C_{0}\right|=\rho_{0};C_{n}=\rho_{n}\left(\cos \theta_{n}+i \sin \theta_{n}\right)$ 这里 $0 \leqslant \theta_{n}<2 \pi,\left|C_{n}\right|=\rho_{n}$．选择 $\theta, 0 \leqslant 0<2 \pi$，使得 $\theta_{0}+n \theta \equiv \theta_{n}(\bmod 2 \pi)$
例如：当 $\theta_{n} \geqslant \theta_{0}$ 时，取 $\theta=\dfrac{1}{n}\left(\theta_{n}-\theta_{0}\right)$
当 $\theta_{n}< \theta_{0}$ 时，取 $\theta=\dfrac{1}{n}\left(2 \pi+\theta_{n}-\theta_{0}\right)$ 就可以了，令 $\eta=\cos \theta+i \sin \theta$ ⑦
$C_{0} \eta^{n}+C_{n}=\rho_{0}\left(\cos \theta_{0}+i \sin \theta_{0}\right)(\cos n \theta+i \sin n \theta)+\rho_{n}\left(\cos \theta_{n}+i \sin \theta_{n}\right)=$
$\rho_{0}\left(\cos \left(\theta_{0}+n \theta\right)+i \sin \left(\theta_{0}+n \theta\right)\right)+\rho_{n}\left(\cos \theta_{n}+i \sin \theta_{n}\right)=\left(\rho_{0}+\rho_{n}\right)\left(\cos \theta_{n}+i \sin \theta_{n}\right) ⑧ $
从而，可以得到 $\left|C_{0} \eta^{n}+C_{n}\right|=\rho_{0}+\rho_{n}=\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ ⑨
将 ⑨ 代人 ⑥，有 $\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n}\left|f\left(\omega^{k} \eta\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ ⑩
由于 $n$ 个实数 $\left|f(\omega \eta)\right|,\left|f\left(\omega^{2} \eta\right)\right|, \cdots, | f\left(\omega^{n} \eta\right)$ 的算术平均值大于等于 $\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$，则至少有一个 $\left|f\left(\omega^{j} \eta\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ ⑪
这里 $j$ 是 $1,2, \cdots, n$ 中某一个正整数．令 $z_{0}=\omega^{j} \eta,\left|z_{0}\right|=1$，而且有
$\left|f\left(z_{0}\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ $\left|f\left(z_{0}\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$ ⑫
答案
解析
备注
