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设 $2n$ 个实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} ; b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}(n \geqslant 3)$ 满足条件：
（1）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$；
（2）$0<a_{1}=a_{2}, a_{i}+a_{i+1}=a_{i+2}(i=1,2, \cdots, n-2)$；
（3）$0<b_{1} \leqslant b_{2}, b_{i}+b_{i+1} \leqslant b_{i+2}(i=1,2, \cdots, n-2)$．
求证：$a_{n-1}+a_{n} \leqslant b_{n-1}+b_{n}$．
【难度】
【出处】
1995第10届CMO试题
【标注】
  • 知识点
    >
    二试代数部分
【答案】
略
【解析】
若 $b_{1} \geqslant a_{1}$，由（2），（3）得 $b_{2} \geqslant b_{1} \geqslant a_{1}, b_{3} \geqslant b_{1}+b_{2} \geqslant a_{1}+a_{2}=a_{3}, \cdots, b_{n} \geqslant a_{n}$ 从而 $a_{n-1}+a_{n} \leqslant b_{n-1}+b_{n}$ 设 $b_{1}<a_{1}$，若 $b_{1}+b_{2} \geqslant a_{1}+a_{2}$，则该二式相减得 $b_{2} \geqslant a_{2}$，由（2），（3）得 $b_{3} \geqslant b_{1}+b_{2} \geqslant a_{1}+a_{2}=a_{3}, \cdots, b_{n} \geqslant a_{n}$ 从而也有 $a_{n-1}+a_{n} \leqslant b_{n-1}+b_{n}$
设 $b_{1}<a_{1}$
$b_{1}+b_{2}<a_{1}+a_{2}, \cdots, b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{k-2}<a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k-2}$
$b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{k-1}<a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k-1}, 3 \leqslant k \leqslant n-2$
则该式与上二式分别相减得 $b_{k}>a_{k}, b_{k}+b_{k-1}>a_{k}+a_{k-1}$
由（2），（3）得 $b_{k+1} \geqslant b_{k}+b_{k-1}>a_{k}+a_{k-1}=a_{k+1}$
再由（2），（3）易得 $b_{k+2}>a_{k+2}, \cdots, b_{n}>a_{n}$
从而结论 $a_{n-1}+a_{n} \leqslant b_{n-1}+b_{n}$ 也成立
最后设 $b_{1}<a_{1}, b_{1}+b_{2}<a_{1}+a_{2}, \cdots, b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n-3}<a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-3},b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n-2}<a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-2}$
由条件（1）的式子减去最后一项即得 $b_{n-1}+b_{n} \geqslant a_{n-1}+a_{n}$．
答案 解析 备注
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