设 $n$ 为自然数．求证：方程：$z^{n+1}-z^{n}-1=0$ 有模为 $1$ 的负根的充分必要条件是 $n+2$ 可被 $6$ 整除．
【难度】
【出处】
1987第2届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设方程 $z^{n+1}-z^{n}-1=0$（*）有根，$z,|z|=1$，则因 $z^{n}(z-1)=1$，两边取模得 $|z|^{n}|z-1|=1$，即 $|z-1|=1$．故 $z$ 为圆 $|z|=1$ 和圆 $|z-1|=1$ 的交点（也可以说，$z,0,1$ 三点连成等边三角形），所以 $z=\mathrm{e}^{ \pm \mathrm{i} \frac{\pi}{3}}, z^{3}=-1,z^{6}=1, $ 且 $ z^{k}=1$ 当且仅当 $k$ 被 $6$ 整除．又因 $z^{3}=-1$，所以 $\left(z+1)(z^{2}-z+1\right)=0$，因 $z\ne -1$，所以 $z^{2}-z+1=0, z-1=z^{2}$，代入方程（*），便得 $z^{n+2}=1$，所以 $n+2$ 可被 $6$ 整除．
反之，若 $n+2$ 可被 $6$ 整除，令 $z=\mathrm{e}^{ \pm i \frac{\pi}{3}}$，易验证 $z-1=z^{2},z^{n+2}=1$，代入方程（*）合适，而 $|z|=1$，便证得充分性．
反之，若 $n+2$ 可被 $6$ 整除，令 $z=\mathrm{e}^{ \pm i \frac{\pi}{3}}$，易验证 $z-1=z^{2},z^{n+2}=1$，代入方程（*）合适，而 $|z|=1$，便证得充分性．
答案
解析
备注
