设 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为复数，满足 $\left|Z_{1}\right|+\left|Z_{2}\right|+\cdots+\left|Z_{n}\right|=1$，求证：上述 $n$ 个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于 $\dfrac{1}{6}$．
【难度】
【出处】
1986第1届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
本题是由美国的一本高等数学书中的一个引理改造而成的．事实上，题中的常数可以增大到 $\dfrac{1}{4}$．冬令营的一位营员（来自江苏）给出了一个很简洁的解法，这一解法，是基于以下的考虑．
设 $Z_{1}=3-2 \mathrm{i}, Z_{2}=-3+2 \mathrm{i}$，那么 $\left|Z_{1}+Z_{2}\right|=0$．而如果 $Z_{1}=3-2 \mathrm{i}, Z_{2}=3+1.9 \mathrm{i}$，那么 $\left|Z_{1}+Z_{2}\right|=|6-0.1 \mathrm{i}| \geqslant 6$．这两个例子表明，若干个复数相加，只有当它们的实部或虚部具有相同的符号时，和的模才可能比较大；否则正负相抵，和的模就可能相对较小．
令 $Z_{k}=x_{k}+\mathrm{i} y_{k}, k=1,2, \cdots, n$．由于 $\left|Z_{k}\right| \leqslant\left|x_{k}\right|+\left|y_{k}\right|$ 故得 $\displaystyle 1=\sum\limits_{k=1}^{n}\left|Z_{k}\right| \leqslant \sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|+\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}\right|$ 因为我们有显然的等式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|=\sum_{x_{k}>0} x_{k}-\sum_{x_{k}<0} x_{k},\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}\right|=\sum_{y_{k}>0} y_{k}-\sum_{y_{k}<0} y_{k}$ 这里，$\displaystyle \sum\limits_{x_{k}>0} x_{k}$ 表示把 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 中全部正数都加起来，而 $\displaystyle \sum\limits_{\gamma_{k}<0} y_{k}$ 表示把 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ 中全部负数加起来．由于 $\displaystyle \sum\limits_{x_{k}>0} x_{k}+\left(-\sum_{x_{k}<0} x_{k}\right)+\sum_{y_{k}>0} y_{k}+\left(-\sum_{y_{k}<0} y_{k}\right) \geqslant 1$ 故以上四个和式中必有一个不小于 $\dfrac{1}{4}$，无妨设 $\displaystyle -\sum\limits_{y_{k}<0} y_{k}=\sum_{y_{k}<0}\left|y_{k}\right| \geqslant \dfrac{1}{4}$ 这时 $\displaystyle \left|\sum\limits_{y_{k}<0} Z_{k}\right|=\left|\sum_{y_{k}<0} x_{k}+i \sum_{y_{k}<0} y_{k}\right| \geqslant\left|\sum_{y_{k}<0} y_{k}\right|=\sum_{y_{k}<0}\left|y_{k}\right| \geqslant \dfrac{1}{4}$
在上式中，记号 $\sum_{y_{k}<0} Z_{k}$ 表示把复数 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 中具有负虚部的那一部分复数加起来．
其实常数 $\dfrac{1}{4}$ 还可以更大一些，运用高等数学中的工具，可以证明，本题中的常数 $\dfrac{1}{6}$ 可以用 $\dfrac{1}{\pi}$ 来代替，这里 $\pi$ 代表圆周率．
设 $Z_{1}=3-2 \mathrm{i}, Z_{2}=-3+2 \mathrm{i}$，那么 $\left|Z_{1}+Z_{2}\right|=0$．而如果 $Z_{1}=3-2 \mathrm{i}, Z_{2}=3+1.9 \mathrm{i}$，那么 $\left|Z_{1}+Z_{2}\right|=|6-0.1 \mathrm{i}| \geqslant 6$．这两个例子表明，若干个复数相加，只有当它们的实部或虚部具有相同的符号时，和的模才可能比较大；否则正负相抵，和的模就可能相对较小．
令 $Z_{k}=x_{k}+\mathrm{i} y_{k}, k=1,2, \cdots, n$．由于 $\left|Z_{k}\right| \leqslant\left|x_{k}\right|+\left|y_{k}\right|$ 故得 $\displaystyle 1=\sum\limits_{k=1}^{n}\left|Z_{k}\right| \leqslant \sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|+\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}\right|$ 因为我们有显然的等式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|=\sum_{x_{k}>0} x_{k}-\sum_{x_{k}<0} x_{k},\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}\right|=\sum_{y_{k}>0} y_{k}-\sum_{y_{k}<0} y_{k}$ 这里，$\displaystyle \sum\limits_{x_{k}>0} x_{k}$ 表示把 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 中全部正数都加起来，而 $\displaystyle \sum\limits_{\gamma_{k}<0} y_{k}$ 表示把 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ 中全部负数加起来．由于 $\displaystyle \sum\limits_{x_{k}>0} x_{k}+\left(-\sum_{x_{k}<0} x_{k}\right)+\sum_{y_{k}>0} y_{k}+\left(-\sum_{y_{k}<0} y_{k}\right) \geqslant 1$ 故以上四个和式中必有一个不小于 $\dfrac{1}{4}$，无妨设 $\displaystyle -\sum\limits_{y_{k}<0} y_{k}=\sum_{y_{k}<0}\left|y_{k}\right| \geqslant \dfrac{1}{4}$ 这时 $\displaystyle \left|\sum\limits_{y_{k}<0} Z_{k}\right|=\left|\sum_{y_{k}<0} x_{k}+i \sum_{y_{k}<0} y_{k}\right| \geqslant\left|\sum_{y_{k}<0} y_{k}\right|=\sum_{y_{k}<0}\left|y_{k}\right| \geqslant \dfrac{1}{4}$
在上式中，记号 $\sum_{y_{k}<0} Z_{k}$ 表示把复数 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 中具有负虚部的那一部分复数加起来．
其实常数 $\dfrac{1}{4}$ 还可以更大一些，运用高等数学中的工具，可以证明，本题中的常数 $\dfrac{1}{6}$ 可以用 $\dfrac{1}{\pi}$ 来代替，这里 $\pi$ 代表圆周率．
答案
解析
备注
