已知函数 $f(x)=\dfrac{x^2}2+ax+2\ln x$ 在 $x=2$ 处取得极值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求实数 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的单调区间；标注答案$a=-3$，$f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,1)$ 和 $(2,+\infty)$，单调递减区间是 $(1,2)$解析函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x^2+ax+2}{x}.$$根据题意，$x=2$ 是函数 $f'(x)$ 的零点，因此 $a=-3$．经验证，$a=-3$ 符合题意，此时 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,1)$ 和 $(2,+\infty)$，单调递减区间是 $(1,2)$．
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方程 $f(x)=m$ 有 $3$ 个实数解 $x_1,x_2,x_3$（$x_1<x_2<x_3$），求证：$x_3-x_1<2$．标注答案略解析只需要证明对任意 $x>0$，均有$$f(x+2)-f(x)>0,$$即$$\forall x>0,x-2+\ln\left(1+\dfrac 2x\right)>0.$$设函数$$g(x)=x-2+\ln\left(1+\dfrac 2x\right),$$则 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=\dfrac{x^2+2x-2}{x^2+2x},$$因此 $g(x)$ 的最小值为 $g(\sqrt 3-1)$．接下来只需要证明 $g(\sqrt 3-1)>0$．
法一 由于$$\begin{split} g(\sqrt 3-1)=&\sqrt 3-3+\ln(\sqrt 3+1)-\ln(\sqrt 3-1)\\>&\sqrt 3-3+ \ln {\rm e}-(\sqrt 3-2)=0,\end{split} $$因此原命题得证．法二 由于$$g(\sqrt3 -1)=\ln (2+\sqrt 3)+\sqrt 3-3,$$于是只需要证明$$\ln(2+\sqrt 3)>-\sqrt 3+3,$$即证明$$ \ln (2-\sqrt 3)<\sqrt 3-3.$$注意到 $2-\sqrt 3\approx\dfrac{1}{\rm e}$，于是取 $y=\ln x$ 在 $x=\dfrac{1}{{\rm e}}$ 处的切线，当 $x\neq\dfrac{1}{\rm e}$ 时有$$\ln x<{\rm e}\cdot \left(x-\dfrac{1}{\rm e}\right)-1,$$于是$$\ln(2-\sqrt 3)<(2-\sqrt 3){\rm e}-2,$$因此只需证明$$(2-\sqrt 3){\rm e}<\sqrt 3-1,$$即$${\rm e}<\dfrac{\sqrt 3-1}{2-\sqrt 3}=1+\sqrt 3,$$这显然成立，因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
