已知函数 $f(x)={\rm e}^{x-1}\cdot \ln x$，$g(x)=\dfrac{x^n-1}{nx}$（$x>0$，$n\ne 0$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若当 $x\geqslant 1$ 时，$f(x)-x\cdot g(x)\geqslant 0$ 恒成立，求实数 $n$ 的取值范围；标注答案$(-\infty,2]$解析根据题意，有\[\forall x\geqslant 1,{\rm e}^{x-1}\ln x-\dfrac{x^n-1}{n}\geqslant 0,\]记不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，则分析端点，有\[\begin{array}{c|cc}\hline
x&1&+\infty \\ \hline
\varphi(x)={\rm e}^{x-1}\ln x-\dfrac{x^n-1}{n}&0&+\infty \\ \hline
\varphi'(x)={\rm e}^{x-1}\left(\ln x+\dfrac 1x\right)-x^{n-1}&0&\\ \hline
\varphi''(x)={\rm e}^{x-1}\left(\ln x+\dfrac 2x-\dfrac{1}{x^2}\right)-(n-1)x^{n-2}&2-n& \\ \hline \end{array}\]得到讨论分界点 $n=2$．情形一 $n\leqslant 2$．当 $x\geqslant 1$ 时，有\[\varphi(x)\geqslant {\rm e}^{x-1}\left(\ln x+\dfrac 1x\right)-x\geqslant {\rm e}^{x-1}-x\geqslant 0,\]于是 $\varphi(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，结合 $\varphi(1)=0$，符合题意．情形二 $n>2$．当 $x\geqslant 1$ 时，有\[\begin{split} \varphi'(x)&\leqslant {\rm e}^{x-1}\left[(x-1)+\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)-\dfrac{1}{x^2}\right]-(n-1)\\
&=x{\rm e}^{x-1}-(n-1)\\
&\leqslant {\rm e}^{2x-2}-(n-1),\end{split}\]因此当 $1\leqslant x<1+\dfrac{\ln(n-1)}2$ 时，有\[\varphi'(x)<0,\]于是 $\varphi(x)$ 在 $\left(1,1+\dfrac{\ln(n-1)}2\right)$ 上单调递减，结合 $\varphi(1)=0$，不符合题意．
综上所述，实数 $n$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$． -
若 $n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求 $n$ 的最大值．标注答案$3$解析根据题意，有\[\forall x>0,{\rm e}^{x-1}\cdot \ln x- \dfrac{x^n-1}{nx}\geqslant 0,\]也即\[\forall x>0,nx\cdot {\rm e}^{x-1}\ln x-x^n+1\geqslant 0,\]记不等式左侧函数为 $\mu(x)$，则分析端点，有\[\begin{array}{c|c}\hline
x&1 \\ \hline
\mu(x)=nx\cdot {\rm e}^{x-1}\ln x-x^n+1&0 \\ \hline
\mu'(x)=n{\rm e}^{x-1}\cdot \left(1+\ln x+x\ln x\right)-nx^{n-1}&0\\ \hline
\mu''(x)=n{\rm e}^{x-1}\cdot \left(2+2\ln x+x\ln x+\dfrac 1x\right)-n(n-1)x^{n-2}&n(4-n) \\ \hline
\mu'''(x)=n{\rm e}^{x-1}\left( 3+3\ln x+x\ln x+\dfrac 3x-\dfrac{1}{x^2}\right)-n(n-1)(n-2)x^{n-3}&n(-n^2+3n+3)\\ \hline\end{array}\]因此可以猜想 $n$ 的最大值为 $3$，证明如下．情形一 $n\geqslant 4$．此时当 $x\geqslant 1$ 时，有\[\begin{split}\mu'''(x)&\leqslant n{\rm e}^{x-1}\left[3+3(x-1)+x(x-1)+1+\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)-\dfrac{1}{x^2}\right]-n(n-1)(n-2)\\
&=n{\rm e}^{x-1}\left(x^2+2x+2\right)-n(n-1)(n-2)\\
&\leqslant n\left[{\rm e}^{x-1}(x^2+2x+2)-6\right],\end{split}\]于是当 $1<x<m$ 时，有\[\mu'''(x)\leqslant n\left[{\rm e}^{x-1}\cdot \dfrac{11}2-6\right],\]其中\[m^2+2m+2=\dfrac{11}2,m>1.\]因此当 $1<x<\min\left\{m,1+\ln\dfrac{12}{11}\right\}$ 时，就有\[\mu'''(x)<0,\]结合\[\mu''(1)\leqslant 0,\mu'(1)=\mu(1)=0,\]可得在区间 $\left(1,\min\left\{m,1+\ln\dfrac{12}{11}\right\}\right)$ 上，$\mu(x)<0$，不符合题意．情形二 $n=3$．此时\[\mu(x)=3x\cdot {\rm e}^{x-1}\ln x-x^3+1,\]且\[\mu''(x)=3{\rm e}^{x-1}\left(2+2\ln x+x\ln x+\dfrac 1x\right)-6x,\]而\[\begin{split} 2\ln x+\dfrac 1x&\geqslant 2-2\ln 2>\dfrac 12,\\
x\ln x&\geqslant -\dfrac{1}{\rm e}>-\dfrac 12,\end{split}\]于是\[\mu''(x)>6{\rm e}^{x-1}-6x\geqslant 0,\]结合\[\mu'(1)=\mu(1)=0,\]符合题意．
综上所述，$n$ 的最大值为 $3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
