正整数数列 $\{a_n\}$ 满足对任意正整数 $n$，均有 $a_{a_n}+a_n=2n$，求 $a_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=n,n\in\mathbb N^{\ast}$
【解析】
令 $n=1$，可得 $a_1=1$；令 $n=2$，有 $a_{a_2}+a_2=4$，所以 $1\leqslant a_2 \leqslant 3$．若 $a_2=1$，则有 $a_1+a_2=2\neq 4$，矛盾；若 $a_2=3$，则有 $a_3+3=4$，于是 $a_3=1$，但 $a_{a_3}+a_3=a_1+a_3=2\neq 6$，矛盾．因此 $a_2=2$．
下面用数学归纳法证明 $a_n=n$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．
归纳假设 若 $a_n=n$ 对 $n=1,2,\cdots ,k-1$ 都成立．
递推证明 下面证明 $a_k=k$．
若 $a_k<k$，则根据归纳假设，有 $a_{a_k}\leqslant k-1$，与 $a_{a_k}+a_k=2k$ 矛盾；
若 $a_k>k$，记 $a_k=m$，则由 $a_{a_k}+a_k=a_m+a_k=2k$ 可知$$a_m=a_{a_k}=2k-a_k<k,$$从而由归纳假设 $a_{a_m}\leqslant k-1$，与 $a_{a_m}+a_m=2m>2k$ 矛盾．
综上所述，有 $a_k=k$，因此原命题得证．
下面用数学归纳法证明 $a_n=n$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．
若 $a_k<k$，则根据归纳假设，有 $a_{a_k}\leqslant k-1$，与 $a_{a_k}+a_k=2k$ 矛盾；
若 $a_k>k$，记 $a_k=m$，则由 $a_{a_k}+a_k=a_m+a_k=2k$ 可知$$a_m=a_{a_k}=2k-a_k<k,$$从而由归纳假设 $a_{a_m}\leqslant k-1$，与 $a_{a_m}+a_m=2m>2k$ 矛盾．
综上所述，有 $a_k=k$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
