$(-\infty,2]$

根据题意，有\[\forall x\geqslant 1,{\rm e}^{x-1}\ln x-\dfrac{x^n-1}{n}\geqslant 0,\]记不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，则分析端点，有\[\begin{array}{c|cc}\hline
x&1&+\infty \\ \hline
\varphi(x)={\rm e}^{x-1}\ln x-\dfrac{x^n-1}{n}&0&+\infty \\ \hline
\varphi'(x)={\rm e}^{x-1}\left(\ln x+\dfrac 1x\right)-x^{n-1}&0&\\ \hline
\varphi''(x)={\rm e}^{x-1}\left(\ln x+\dfrac 2x-\dfrac{1}{x^2}\right)-(n-1)x^{n-2}&2-n& \\ \hline \end{array}\]得到讨论分界点 $n=2$．
情形一 $n\leqslant 2$．当 $x\geqslant 1$ 时，有\[\varphi(x)\geqslant {\rm e}^{x-1}\left(\ln x+\dfrac 1x\right)-x\geqslant {\rm e}^{x-1}-x\geqslant 0,\]于是 $\varphi(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，结合 $\varphi(1)=0$，符合题意．
情形二 $n>2$．当 $x\geqslant 1$ 时，有\[\begin{split} \varphi'(x)&\leqslant {\rm e}^{x-1}\left[(x-1)+\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)-\dfrac{1}{x^2}\right]-(n-1)\\
&=x{\rm e}^{x-1}-(n-1)\\
&\leqslant {\rm e}^{2x-2}-(n-1),\end{split}\]因此当 $1\leqslant x<1+\dfrac{\ln(n-1)}2$ 时，有\[\varphi'(x)<0,\]于是 $\varphi(x)$ 在 $\left(1,1+\dfrac{\ln(n-1)}2\right)$ 上单调递减，结合 $\varphi(1)=0$，不符合题意．
综上所述，实数 $n$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$．

$3$

根据题意，有\[\forall x>0,{\rm e}^{x-1}\cdot \ln x\geqslant \dfrac{x^n-1}{nx},\]