若甲乙对局时，甲赢得单局比赛的概率为 $p$（$p>0.5$），求证：在 $2n+1$ 局 $n+1$ 胜（如 $5$ 局 $3$ 胜）制的比赛中，甲最终胜出的概率随着 $n$ 的增大而增大．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设在 $2n+1$ 局 $n+1$ 胜（如 $5$ 局 $3$ 胜）制的比赛中，甲最终胜出的概率为 $a_n$，则$$a_n={\mathrm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^n+{\mathrm C}_{2n+1}^{n+2}p^{n+2}(1-p)^{n-1}+\cdots +{\mathrm C}_{2n+1}^{2n+1}p^{2n+1},$$在此基础上，利用全概率公式计算 $a_{n+1}$，包含四种情形．
情形一 甲在前 $2n+1$ 局比赛中赢了不足 $n$ 场，则一定无法胜出；
情形二 甲在前 $2n+1$ 局比赛中赢了 $n$ 场，则剩下的两场比赛都赢方能胜出，概率为$$\left[{\mathrm C}_{2n+1}^{n}p^{n}(1-p)^{n+1}\right]\cdot p^2={\mathrm C}_{2n+1}^{n}p^{n+2}(1-p)^{n+1}.$$情形三 甲在前 $2n+1$ 局比赛中赢了 $n+1$ 场，则剩下的两场比赛不全输就能胜出，概率为$$\left[{\mathrm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n}\right]\cdot \left[1-(1-p)^2\right]={\mathrm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n}-{\mathrm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+2}.$$情形四 甲在前 $2n+1$ 局比赛中已经赢了超过 $n+2$ 场，则一定胜出，概率为$${\mathrm C}_{2n+1}^{n+2}p^{n+2}(1-p)^{n-1}+\cdots +{\mathrm C}_{2n+1}^{2n+1}p^{2n+1}.$$这样我们就可以得到\[\begin{split} a_{n+1}-a_n&={\mathrm C}_{2n+1}^{n}p^{n+2}(1-p)^{n+1}-{\mathrm C}_{2n+1}^{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+2}\\ &={\mathrm C}_{2n+1}^{n}p^{n+1}(1-p)^{n+1}\cdot (2p-1)\\& >0,\end{split}\]也即甲最终胜出的概率随着 $n$ 的增大而增大．
答案
解析
备注
