设 $\alpha$ 是 $\triangle{ABC}$ 的最小内角，并且使关于 $x$ 的方程 $x^2\sin \alpha+x\cos \alpha+\beta=0$（$\beta\in \mathbb R$）无实数解．证明：$\beta>\dfrac{\sqrt 3}{24}$．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $\alpha $ 为三角形中最小内角，所以$$0<\alpha \leqslant \dfrac{\pi}{3}.$$若关于 $x$ 的方程 $x^2\sin \alpha+x\cos \alpha+\beta=0$ 无实数解，则$$\forall \alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{3}\right],\cos ^2\alpha-4\cdot \sin \alpha \cdot \beta <0,$$所以$$\forall \alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{3}\right],\beta>\dfrac{\cos^2\alpha}{4\sin \alpha}=\dfrac 14\left(\dfrac 1{\sin \alpha}-\sin \alpha\right).$$因为$$\dfrac 1{\sin \alpha}-\sin \alpha\geqslant \dfrac{2}{\sqrt 3}-\dfrac{\sqrt 3}{2}=\dfrac{\sqrt 3}{6}.$$所以$$\beta>\dfrac 14\cdot \dfrac{\sqrt 3}{6}=\dfrac{\sqrt 3}{24}.$$
答案
解析
备注
