求函数 $f(x)=\ln(ax+1)+\dfrac{1-x}{1+x}$（$x\geqslant 0,a\in\mathbb R^{+}$）的单调区间；
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a\geqslant 2$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $[0,+\infty)$；当 $0<a<2$ 时，$f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(0,\sqrt{\dfrac{2-a}{a}}\right)$，单调递增区间为 $\left(\sqrt{\dfrac{2-a}{a}},+\infty\right)$
【解析】
求导得$$\begin{split}f'(x)&=\dfrac a{ax+1}-\dfrac 2{(1+x)^2}\\&=\dfrac {ax^2+a-2}{(x+1)^2},\end{split}$$当 $a\geqslant 2$ 时，$f'(x)>0$ 恒成立，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增．
当 $0<a<2$ 时，若 $0<x<\sqrt{\dfrac{2-a}{a}}$，则 $f'(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac{2-a}{a}}\right)$ 上单调递减；
若 $x>\sqrt{\dfrac{2-a}{a}}$，则 $f'(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $\left(\sqrt{\dfrac{2-a}{a}},+\infty\right)$ 上单调递增．
当 $0<a<2$ 时，若 $0<x<\sqrt{\dfrac{2-a}{a}}$，则 $f'(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac{2-a}{a}}\right)$ 上单调递减；
若 $x>\sqrt{\dfrac{2-a}{a}}$，则 $f'(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $\left(\sqrt{\dfrac{2-a}{a}},+\infty\right)$ 上单调递增．
答案
解析
备注
