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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15552 596316583cafba000ac43e17 高中 解答题 自招竞赛 $20$ 个巫师孤岛聚会．在这期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师．证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其他九个巫师的诅咒． 2022-04-17 19:42:14
15539 5963328d3cafba0009670db4 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 11$ 是一正整数，由不大于 $n$ 的连续 $10$ 个正整数的和组成集合 $A$，由不大于 $n$ 的连续 $11$ 个正整数的和组成集合 $B$．若 $A\cap B$ 的元素个数是 $181$，求 $n$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 19:35:14
15489 596875db22d14000091d7210 高中 解答题 自招竞赛 集合 $A\subseteq\mathbb R$，$\mathbb A$ 是 $A$ 的所有子集所组成的集合．若 $A$ 满足：对任意的映射 $f:\mathbb A\mapsto\mathbb A$，总存在 $X\in\mathbb A$，有$$\underbrace{f\left(f\left(\cdots\left(f\left(X\right)\right)\cdots\right)\right)}_{2^n}\ne A-X,$$这里 $A-X$ 表示 $A$ 的子集 $X$ 的补集，$n$ 为给定的正整数．试求所有满足上述条件的集合 $A$． 2022-04-17 19:06:14
15445 5975b0306b07450008983689 高中 解答题 自招竞赛 对于 $2n$ 元集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$，若 $n$ 元集 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}\}$，$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$ 满足：$A\cup B=M,A\cap B=\varnothing $，且 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}$，则称 $A\cap B$ 是集合 $M$ 的一个“等和划分”（$A\cup B$ 与 $B\cup A$ 算是同一个划分）．试确定集合 $M=\{1,2,3\cdots,12\}$ 共有多少个“等和划分”． 2022-04-17 19:45:13
15432 59799b060a41cd000ac58d81 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是一些互不相同的 $4$ 元数组 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 的集合，其中 $a_i=0$ 或 $1$，$i=1,2,3,4$．已知 $S$ 的元素个数不超过 $15$ 且满足：若 $(a_1,a_2,a_3,a_4),(b_1,b_2,b_3,b_4) \in S$，则$$(\max\{a_1,b_1\},\max\{a_2,b_2\},\max\{a_3,b_3\},\max\{a_4,b_4\}) \in S$$且$$(\min\{a_1,b_1\},\min\{a_2,b_2\},\min\{a_3,b_3\},\min\{a_4,b_4\} ) \in S,$$求 $S$ 的元素个数的最大值． 2022-04-17 19:38:13
15407 597ea006d05b90000addb376 高中 解答题 高中习题 对于一个 $n$（$n \geqslant 3$）元点集，$n$ 个点不全在一条直线上．求证：一定存在某两个点，连接它们的直线上不存在 $n$ 元点集中的其他点（其逆否命题为“对于一个 $n$ 元点集，若其中任意两点连线上还存在其他点，则这 $n$ 个点共线”．）． 2022-04-17 19:23:13
15406 597ea147d05b9000091651cf 高中 解答题 高中习题 有 $100$ 个集装箱里面有 $200$ 个货物，在取出来的过程中货物的顺序被打乱了．现在将他们按一定的规则重新装入集装箱中．将货物依次取出，依次放入集装箱中，集装箱的体积都是 $1$，且每个集装箱最多放两个货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把第二个货物放到下个集装箱中．比如原来有2个集装箱中的货物体积是 $\left( {0.5 , 0.5} \right)$，$\left( {0.7 , 0.3} \right)$，被打算顺序后为 $0.5 , 0.7 , 0.5 , 0.3$，那么就需要 $3$ 个集装箱去装它们．问在最坏的情况下需要多少个集装箱才能将所有的货物装完？ 2022-04-17 19:22:13
15392 5986e62d5ed01a000ba75b6e 高中 解答题 自招竞赛 是否存在四个正实数，使其两两乘积为 $2,3,5,6,10,16$？ 2022-04-17 19:14:13
15374 598958b15a1cff0009ea22d2 高中 解答题 自招竞赛 $2013$ 个白球和 $2014$ 个黑球任意排成一列，求证：无论如何排列，都至少有个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球的个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 19:03:13
15329 59a37072fc0b3d0009a8f754 高中 解答题 自招竞赛 已知 $3\times 7$ 个正方形格子组成的矩形中，每格涂蓝色或者红色，求证：必然存在一个由正方形格子组成的矩形，它的四个角对应的正方形格子是同色的． 2022-04-17 19:40:12
15321 59b73315b049650008cb66e7 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $m$，证明：存在正整数 $k$，使得可将正整数集 $\mathbb N^*$ 分拆为 $k$ 个互不相交的子集 $A_1,A_2,\cdots,A_k$，每个子集 $A_i$ 中均不存在 $4$ 个数 $a,b,c,d$（可以相同），满足 $ab-cd=m$． 2022-04-17 19:36:12
15320 59b73332b049650007283196 高中 解答题 自招竞赛 设 $m,n$ 均是大于 $1$ 的整数，$m\geqslant n$．$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 个不超过 $m$ 的互不相同的正整数，且 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 互素．证明：对任意实数 $x$，均存在一个 $i(1\leqslant i\leqslant n)$，使得 $||a_ix||\geqslant\dfrac{2}{m(m+1)}||x||$，这里 $||y||$ 表示实数 $y$ 到与它最近的整数的距离． 2022-04-17 19:36:12
15319 59b7338bb04965000728319c 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_{20}\in\{1,2,\cdots,5\}$，$b_1,b_2,\cdots,b_{20}\in\{1,2,\cdots,10\}$，集合 $X=\{(i,j)\mid 1\leqslant i<j\leqslant20,(a_i-a_j)(b_i-b_j)<0\}$，求 $X$ 的元素个数的最大值． 2022-04-17 19:36:12
15317 59b7341ab049650008cb6701 高中 解答题 自招竞赛 将 $33\times 33$ 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值． 2022-04-17 19:34:12
15291 5a24c5bdf25ac10009ad6e4b 高中 解答题 自招竞赛 若一些实数组成的集合可划分为三个非空子集，使得对取自任两个不同子集的任意元素 $x,y$，均有 $2(x+y)$ 在第三个子集中，则称此集合具有可分二倍和性质，试判断所有有理数组成的集合是否具有可分二倍和性质，并证明你的结论． 2022-04-17 19:21:12
15285 5a4b48a234d6f9000837b8dc 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_1,x_2,\cdots,x_{100}\in [-1,1]$，求证：存在 $i\ne j$ 使得 $|x_ix_{j+1}-x_jx_{i+1}|<\dfrac{1}{12}$． 2022-04-17 19:18:12
15276 5a7093f29bb0f20008eafccc 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 是 $5$ 个正实数（可以相等），证明：一定存在 $4$ 个互不相同的下标 $i,j,k,l$，使得 $\left|\dfrac{a_i}{a_j}-\dfrac{a_k}{a_l}\right|<\dfrac 12$． 2022-04-17 19:13:12
14118 590943ac060a05000970b32e 高中 填空题 高中习题 具有下列条件的 $n$ 位十进制数称为“$n$ 位和谐数”：
① 首位为 $1$；
② 不含 $1,2,3$ 外的其他数字；
③ 每个数字都至少和一个奇偶性相同的数字相邻．
则“$10$ 位和谐数”的个数为 ．		 2022-04-16 22:40:55
14055 590ad1536cddca0008610eea 高中 填空题 高中习题 直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点．如果函数 $f(x)$ 的图象恰好通过 $k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）个格点，则称 $f(x)$ 为 $k$ 阶格点函数．下列函数：
① $f(x)=\sin x$；
② $f(x)=\pi (x-1)^2+3$；
③ $f(x)=\left(\dfrac 13\right)^x$；
④ $f(x)={\log_{0.6}}x$．
其中是 $1$ 阶格点函数的有 ．		 2022-04-16 22:06:55
13963 596335de3cafba0008337423 高中 填空题 自招竞赛 将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第 $2013$ 个数字是 ． 2022-04-16 22:17:54
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