对于一个 $n$（$n \geqslant 3$）元点集，$n$ 个点不全在一条直线上．求证：一定存在某两个点，连接它们的直线上不存在 $n$ 元点集中的其他点（其逆否命题为“对于一个 $n$ 元点集，若其中任意两点连线上还存在其他点，则这 $n$ 个点共线”．）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设连接 $n$ 元点集中的两点的直线与直线外的一点构成一个点线组，则点线组为有限个，其中必然存在一个点线组，其点到直线的距离最小．现在证明这条直线为满足要求的直线，用反证法．
设 $A - BC$ 为点到直线的距离最小的点线组，若这条直线上存在其他点集中的点 $D$，则由于直线 $BC$ 上至少有 $B,C,D$ 三个点，因此必然有两个点在垂足的同一侧，不妨设为 $C,D$，且 $C$ 点位于 $H,D$ 点之间，则 $AD > DH \geqslant DC$．考虑 $\triangle ACD$ 的面积，从而有$$d\left( {C , AD} \right) < d\left( {A , CD} \right),$$与 $A - BC$ 为点到直线的距离最小的点线组矛盾．因此原命题得证．
设 $A - BC$ 为点到直线的距离最小的点线组，若这条直线上存在其他点集中的点 $D$，则由于直线 $BC$ 上至少有 $B,C,D$ 三个点，因此必然有两个点在垂足的同一侧，不妨设为 $C,D$，且 $C$ 点位于 $H,D$ 点之间，则 $AD > DH \geqslant DC$．考虑 $\triangle ACD$ 的面积，从而有$$d\left( {C , AD} \right) < d\left( {A , CD} \right),$$与 $A - BC$ 为点到直线的距离最小的点线组矛盾．因此原命题得证．
答案
解析
备注
